সম্ভাব্যতার নিয়ম কেন জানা দরকার?
আগের পাঠে আমরা শিখেছি সম্ভাব্যতা কী। এখন শিখবো কিছু মৌলিক নিয়ম যা দিয়ে জটিল পরিস্থিতিতেও সম্ভাব্যতা হিসাব করা যায়। এই নিয়মগুলো হলো সম্ভাব্যতার ব্যাকরণ - এগুলো না জানলে বড় সমস্যা সমাধান করা কঠিন।
নিয়ম ১: যোগের নিয়ম (Addition Rule)
যখন আপনি জানতে চান "ঘটনা ক অথবা ঘটনা খ ঘটার সম্ভাব্যতা কত?" - তখন যোগের নিয়ম ব্যবহার করবেন। "অথবা" শব্দটা মনে রাখুন - এটা যোগের সংকেত।
পরস্পর বর্জনকারী ঘটনা (Mutually Exclusive Events)
যদি দুটো ঘটনা একই সাথে ঘটতে না পারে, তাহলে তারা পরস্পর বর্জনকারী। এক্ষেত্রে সম্ভাব্যতা শুধু যোগ করলেই হয়।
BPL-এ একটা ম্যাচে হয় ঢাকা ডাইনামাইটস জিতবে, নাহয় চট্টগ্রাম চ্যালেঞ্জার্স (ড্র ধরছি না T20-তে)। দুটো দল একসাথে জিততে পারে না।
- ঢাকা জেতার সম্ভাব্যতা = ০.৫৫
- চট্টগ্রাম জেতার সম্ভাব্যতা = ০.৪৫
- ঢাকা বা চট্টগ্রাম জেতার সম্ভাব্যতা = ০.৫৫ + ০.৪৫ = ১.০০ (নিশ্চিত - কেউ না কেউ জিতবেই)
পরস্পর বর্জনকারী নয় এমন ঘটনা
যদি দুটো ঘটনা একই সাথে ঘটতে পারে, তাহলে শুধু যোগ করলে দুবার গোনা হয়ে যাবে। তাই বিয়োগ করতে হবে:
P(ক বা খ) = P(ক) + P(খ) - P(ক এবং খ)
একটা কলেজে ৬০% ছাত্রছাত্রী বাংলায় A+ পেয়েছে, ৪০% ইংরেজিতে A+ পেয়েছে, আর ২৫% দুটোতেই A+ পেয়েছে। দৈবভাবে একজন বাছাই করলে সে বাংলায় বা ইংরেজিতে (বা দুটোতেই) A+ পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?
P(বাংলা বা ইংরেজি) = ০.৬০ + ০.৪০ - ০.২৫ = ০.৭৫ বা ৭৫%
বিয়োগ না করলে ০.৬০ + ০.৪০ = ১.০০ হতো, যেটা ভুল - কারণ দুটোতে A+ পাওয়া ছাত্রদের দুবার গোনা হতো।
নিয়ম ২: গুণের নিয়ম (Multiplication Rule)
যখন জানতে চান "ঘটনা ক এবং ঘটনা খ দুটোই ঘটার সম্ভাব্যতা কত?" - তখন গুণের নিয়ম। "এবং" শব্দটা গুণের সংকেত।
স্বাধীন ঘটনা (Independent Events)
যদি একটা ঘটনা ঘটা বা না ঘটা অন্যটাকে প্রভাবিত না করে, তাহলে তারা স্বাধীন। স্বাধীন ঘটনার জন্য:
P(ক এবং খ) = P(ক) × P(খ)
পরপর দুটো ক্রিকেট ম্যাচে টসে জেতার সম্ভাব্যতা কত? প্রতি ম্যাচের টস স্বাধীন - আগেরবার কী হয়েছে সেটা পরেরবারকে প্রভাবিত করে না।
- প্রথম ম্যাচে টসে জেতা: ১/২ = ০.৫
- দ্বিতীয় ম্যাচে টসে জেতা: ১/২ = ০.৫
- দুটোতেই জেতা: ০.৫ × ০.৫ = ০.২৫ বা ২৫%
একটা গার্মেন্টস ফ্যাক্টরিতে শার্টে দোষ থাকার সম্ভাব্যতা ৩%। পরপর দুটো শার্ট তুলে দুটোতেই দোষ পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত? (ধরে নিচ্ছি শার্টগুলো স্বাধীন)
P(দুটোতেই দোষ) = ০.০৩ × ০.০৩ = ০.০০০৯ বা ০.০৯%
অর্থাৎ ১০,০০০ জোড়া শার্টের মধ্যে প্রায় ৯ জোড়ায় দুটোতেই দোষ থাকবে - খুবই কম।
নির্ভরশীল ঘটনা (Dependent Events)
যদি একটা ঘটনা ঘটলে অন্যটার সম্ভাব্যতা বদলে যায়, তাহলে তারা নির্ভরশীল।
একটা ব্যাগে ৫টা লাল আর ৩টা নীল বল আছে। একটা বল তুলে ফেরত না দিয়ে আরেকটা তুললেন। প্রথমটা লাল এবং দ্বিতীয়টাও লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?
- প্রথমটা লাল: ৫/৮
- দ্বিতীয়টা লাল (প্রথমটা লাল বের হওয়ার পর ব্যাগে ৪ লাল, ৩ নীল = ৭টা): ৪/৭
- দুটোই লাল: ৫/৮ × ৪/৭ = ২০/৫৬ ≈ ০.৩৫৭ বা ৩৫.৭%
প্রথম বল তোলার ফলে দ্বিতীয়বারের সম্ভাব্যতা বদলে গেছে - তাই এরা নির্ভরশীল।
নিয়ম ৩: পরিপূরকের নিয়ম (Complement Rule)
কখনো কখনো "কমপক্ষে একবার ঘটার" সম্ভাব্যতা বের করা কঠিন, কিন্তু "একবারও না ঘটার" সম্ভাব্যতা সহজ। তখন পরিপূরকের নিয়ম কাজে লাগে:
P(কমপক্ষে একবার) = ১ - P(একবারও না)
ঢাকায় কোনো একটা সপ্তাহে কমপক্ষে একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাব্যতা কত? ধরুন প্রতিদিন বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাব্যতা ০.৬ এবং দিনগুলো স্বাধীন।
- P(পুরো সপ্তাহে বৃষ্টি নেই) = ০.৬⁷ = ০.৬ × ০.৬ × ০.৬ × ০.৬ × ০.৬ × ০.৬ × ০.৬ ≈ ০.০২৮
- P(কমপক্ষে একদিন বৃষ্টি) = ১ - ০.০২৮ = ০.৯৭২ বা ৯৭.২%
প্রতিদিন বৃষ্টির সম্ভাবনা মাঝারি (৪০%) হলেও, পুরো সপ্তাহে কমপক্ষে একদিন বৃষ্টির সম্ভাবনা অনেক বেশি।
নিয়মগুলো মনে রাখার সহজ উপায়
- "অথবা" = যোগ (সতর্কতা: ওভারল্যাপ থাকলে বিয়োগ)
- "এবং" = গুণ (সতর্কতা: নির্ভরশীল হলে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা)
- "কমপক্ষে" = ১ - "একবারও না"
সম্ভাব্যতার তিনটি মূল নিয়ম: যোগের নিয়ম ("অথবা" পরিস্থিতিতে), গুণের নিয়ম ("এবং" পরিস্থিতিতে), এবং পরিপূরকের নিয়ম ("কমপক্ষে একবার" পরিস্থিতিতে)। ঘটনাগুলো পরস্পর বর্জনকারী কি না, স্বাধীন কি নির্ভরশীল - এটা বুঝে সঠিক সূত্র প্রয়োগ করতে হয়। এই নিয়মগুলো হলো সম্ভাব্যতার ভিত্তি যার উপর বাকি সব গড়ে ওঠে।