Tres reglas que abren la puerta a la probabilidad
En la leccion anterior, aprendimos que la probabilidad es un numero entre 0 y 1 que mide que tan posible es que algo ocurra. Ahora necesitamos reglas para combinar probabilidades, porque en la vida real rara vez nos enfrentamos a un solo evento a la vez.
La buena noticia: solo necesitas tres reglas basicas, y todas tienen mucho sentido comun una vez que las ves en accion.
Regla 1: El complemento - "Que probabilidad hay de que NO pase?"
A veces la forma mas facil de encontrar una probabilidad es pensar en lo opuesto. El complemento de un evento es todo lo que no es ese evento.
La regla es simple y elegante:
P(el evento NO ocurre) = 1 − P(el evento ocurre)
Como todas las posibilidades deben sumar 1 (algo tiene que pasar), la probabilidad de "no A" es simplemente 1 menos la probabilidad de "A".
El pronostico del tiempo dice que hay un 30% de probabilidad de lluvia hoy. Cual es la probabilidad de que NO llueva?
P(sin lluvia) = 1 − 0.30 = 0.70, o 70%.
Asi de sencillo. Si hay 30% de chances de lluvia, hay 70% de que el dia sea seco.
Estas jugando un juego de mesa y necesitas sacar cualquier numero menos el 1 en un dado para seguir en el juego. Cual es la probabilidad de que sobrevivas?
P(sacar un 1) = 1/6 ≈ 0.167. Entonces P(NO sacar un 1) = 1 − 1/6 = 5/6 ≈ 0.833, o cerca del 83.3%. Las probabilidades estan a tu favor.
La regla del complemento es especialmente util cuando hay muchas formas en que algo puede pasar y pocas formas en que no. En vez de sumar todas las formas posibles, calcula las pocas formas en que no pasa y resta de 1.
Regla 2: La regla de la suma - "Que probabilidad hay de esto O aquello?"
Cuando quieres saber la probabilidad de que ocurra un evento u otro, usas la regla de la suma. Pero hay un detalle importante: pueden ambos eventos ocurrir al mismo tiempo?
Cuando los eventos no se superponen (mutuamente excluyentes)
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden pasar al mismo tiempo. Cuando lanzas un dado, no puedes sacar un 3 y un 5 en el mismo tiro. Cuando los eventos son mutuamente excluyentes, simplemente sumas sus probabilidades:
P(A o B) = P(A) + P(B)
Lanzas un dado. Cual es la probabilidad de sacar un 2 o un 5?
Son mutuamente excluyentes: no puedes sacar ambos a la vez. P(2) = 1/6 y P(5) = 1/6.
P(2 o 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 ≈ 0.333, o cerca del 33.3%.
Cuando los eventos SI pueden superponerse
Si dos eventos pueden ocurrir al mismo tiempo, sumar sus probabilidades contaria la superposicion dos veces. Hay que restarla:
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)
En una baraja esanola de 40 cartas hay 10 oros y 4 reyes (uno por palo). Cual es la probabilidad de sacar un oro o un rey?
Hay 10 oros y 4 reyes. Pero una carta, el rey de oros, es ambas cosas. Si solo sumamos 10 + 4 = 14, contamos esa carta dos veces.
P(oro) = 10/40. P(rey) = 4/40. P(rey de oros) = 1/40.
P(oro o rey) = 10/40 + 4/40 − 1/40 = 13/40 = 0.325, o 32.5%.
Una buena forma de recordarlo: si combinas eventos con "o", piensa si hay superposicion. Si la hay, restala una vez para no contar doble.
Regla 3: La regla de la multiplicacion - "Que probabilidad hay de esto Y aquello?"
Cuando quieres saber la probabilidad de que dos eventos ocurran juntos, multiplicas. Pero de nuevo, hay un detalle que importa: el primer evento afecta al segundo?
Eventos independientes
Dos eventos son independientes si uno no cambia la probabilidad del otro. Lanzar una moneda y lanzar un dado son independientes: a la moneda no le importa lo que haga el dado.
P(A y B) = P(A) × P(B)
Lanzas una moneda y un dado. Cual es la probabilidad de obtener cara Y un 6?
P(cara) = 1/2. P(sacar un 6) = 1/6. Estos eventos son independientes.
P(cara y 6) = 1/2 × 1/6 = 1/12 ≈ 0.083, o cerca del 8.3%.
Eventos dependientes
Cuando un evento afecta al otro, son dependientes. En ese caso, la probabilidad del segundo evento cambia segun lo que haya pasado primero. Exploraremos esto con mas detalle en la proxima leccion sobre probabilidad condicional, pero aqui va un adelanto:
Tienes una bolsa con 5 canicas rojas y 3 azules (8 en total). Sacas una canica, NO la devuelves, y sacas otra. Cual es la probabilidad de sacar dos rojas seguidas?
Primer turno: P(roja) = 5/8.
Segundo turno (dado que la primera fue roja): ahora hay 4 rojas y 3 azules (7 en total). P(roja) = 4/7.
P(ambas rojas) = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14 ≈ 0.357, o cerca del 35.7%.
Observa que la segunda probabilidad cambio porque sacamos una canica. Eso es lo que hace que estos eventos sean dependientes.
Las reglas en la vida diaria
Estas reglas no son solo para cartas y dados. Usas esta logica todo el tiempo sin darte cuenta.
Decisiones de compra
Una tienda tiene un 40% de probabilidad de tener tu talla en stock, y de forma independiente, un 25% de probabilidad de tener descuento. Cual es la probabilidad de que encuentres tu talla Y ademas haya descuento?
P(talla y descuento) = 0.40 × 0.25 = 0.10, o 10%. No son grandes chances. Mejor llama antes de ir.
Planificacion de vuelos
Tu primer vuelo de Bogota a Ciudad de Mexico tiene un 90% de puntualidad. Tu conexion a Cancun tambien tiene un 90%. Si son independientes, la probabilidad de que AMBOS lleguen a tiempo es 0.90 × 0.90 = 0.81, o 81%. De repente, un 90% ya no se siente tan comodo cuando necesitas que dos cosas salgan bien.
Necesitas que tres cosas independientes salgan bien para que un proyecto funcione. Cada una tiene un 95% de probabilidad de exito. Cual es la probabilidad total?
P(las tres funcionan) = 0.95 × 0.95 × 0.95 = 0.857, o cerca del 85.7%.
Aunque cada paso es muy probable, encadenarlos reduce las probabilidades totales. Por eso los planes de respaldo son importantes.
Errores comunes que debes evitar
- Olvidar la superposicion en problemas de "o". Si los eventos pueden ocurrir al mismo tiempo, recuerda restar la superposicion.
- Asumir independencia. Sacar cartas sin devolver, por ejemplo, crea eventos dependientes. Siempre preguntate: "El primer evento cambia la situacion para el segundo?"
- Sumar cuando deberias multiplicar. "O" significa sumar (con el ajuste de superposicion). "Y" significa multiplicar. Confundir estos es uno de los errores mas frecuentes.
Resumen rapido de las tres reglas
- Complemento: P(no A) = 1 − P(A)
- Suma (o): P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)
- Multiplicacion (y): P(A y B) = P(A) × P(B) si son independientes
Estas tres reglas son los cimientos de todo lo demas en probabilidad. Dominalas, y tendras una base solida para los temas mas avanzados que vienen despues.
Las tres reglas basicas de probabilidad cubren las preguntas mas comunes: la regla del complemento te dice la probabilidad de que algo NO pase (resta de 1), la regla de la suma maneja situaciones de "o" (suma probabilidades, resta cualquier superposicion), y la regla de la multiplicacion maneja situaciones de "y" (multiplica probabilidades, ajustando si los eventos son dependientes). Juntas, estas reglas te permiten descomponer situaciones complejas en calculos simples.