Tõenäosuse põhireeglid
Eelmises tunnis õppisime, mis on tõenäosus. Need paar lihtsat reeglit aitavad sul arvutada keerulisemate sündmuste tõenäosust. Hea uudis: sa ei vaja keerulist matemaatikat - piisab liitmisest ja korrutamisest.
Reegel 1: Komplementaarsus
Sündmuse MITTE toimumise tõenäosus on 1 miinus sündmuse tõenäosus. Kui vihma tõenäosus on 30%, siis kuiva ilma tõenäosus on 70%.
Valem: P(ei juhtu) = 1 − P(juhtub)
Wise'i andmete põhjal õnnestub 97% ülekannetest edukalt. Mis on tõenäosus, et ülekanne ebaõnnestub?
P(ebaõnnestub) = 1 − 0,97 = 0,03 ehk 3%
Reegel 2: Liitmise reegel (VÕI)
Kui tahad teada tõenäosust, et juhtub sündmus A VÕI sündmus B, liidad nende tõenäosused. AGA - kui nad võivad juhtuda samal ajal, pead lahutama kattuva osa, et mitte topelt arvestada.
Valem: P(A või B) = P(A) + P(B) − P(A ja B)
Teineteist välistavad sündmused
Kui kaks sündmust ei saa juhtuda samal ajal, on nad teineteist välistavad. Sel juhul P(A ja B) = 0 ja valem lihtsustub: P(A või B) = P(A) + P(B).
Viskad täringut. Mis on tõenäosus saada 2 VÕI 5?
Need on teineteist välistavad - sa ei saa saada mõlemat korraga.
P(2 või 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 ≈ 0,333 ehk 33,3%
Tallinna elanike seas on 40% naisi, kes töötavad ja 15% naisi, kes on õpilased. 5% on nii töötavad naised kui õpilased (õpivad töö kõrval). Mis on tõenäosus, et juhuslikult valitud naine on töötav VÕI õpilane?
P(töötav või õpilane) = 0,40 + 0,15 − 0,05 = 0,50 ehk 50%
Ilma lahutamiseta oleks topelt arvestanud neid, kes on mõlemad.
Reegel 3: Korrutamise reegel (JA)
Kui tahad teada tõenäosust, et juhtub sündmus A JA sündmus B, korrutad nende tõenäosused. Aga see toimib lihtsalt ainult siis, kui sündmused on sõltumatud.
Sõltumatud sündmused
Kaks sündmust on sõltumatud, kui ühe toimumine ei mõjuta teise tõenäosust. Näiteks: mündi viskamine ja täringu viskamine on sõltumatud.
Valem: P(A ja B) = P(A) × P(B)
Viskad münti JA täringut. Mis on tõenäosus saada kull JA kuus?
P(kull) = 1/2
P(kuus) = 1/6
P(kull ja kuus) = 1/2 × 1/6 = 1/12 ≈ 0,083 ehk 8,3%
Sõltuvad sündmused
Kui sündmused ei ole sõltumatud, peab korrutamise reegli puhul arvestama tingliku tõenäosusega (sellest rohkem järgmises tunnis).
Karbis on 5 sinist ja 3 punast palli. Võtad ühe välja (ilma tagasipanemata) ja siis teise. Mis on tõenäosus, et mõlemad on sinised?
P(1. on sinine) = 5/8
P(2. on sinine, kui 1. oli sinine) = 4/7 (sest üks sinine on juba väljas)
P(mõlemad sinised) = 5/8 × 4/7 = 20/56 ≈ 0,357 ehk 35,7%
Mitu sõltumatut sündmust järjest
Korrutamise reegel laieneb mitmele sündmusele. Kui kõik on sõltumatud, korruta kõik tõenäosused omavahel.
IT-ettevõtte värbamisprotsessis on 3 vooru. Iga voorus on läbisaamise tõenäosus 70%. Kui voorud on sõltumatud, mis on tõenäosus, et läbid kõigist kolmest?
P(kõik 3) = 0,7 × 0,7 × 0,7 = 0,343 ehk 34,3%
Kuigi iga üksik voor tundub lihtne (70%), on kõigi kolme läbimine oluliselt raskem!
Praktiline kokkuvõte
- VÕI → liida (lahuta kattuvus, kui sündmused võivad samaaegselt juhtuda)
- JA → korruta (kasuta tinglikku tõenäosust, kui sündmused on sõltuvad)
- EI JUHTU → lahuta ühest
Kolm põhireeglit katavad enamiku tõenäosusarvutustest. Komplementaarsus: P(ei) = 1 − P(jah). Liitmise reegel: VÕI-sündmuste puhul liida tõenäosused (ja lahuta kattuvus). Korrutamise reegel: JA-sündmuste puhul korruta tõenäosused. Need lihtsad reeglid on aluseks kõigele keerukamale tõenäosusele.