What is Bayes theorem in simple terms?

Bayes theorem lets you update the probability of a hypothesis based on new evidence, reversing conditional probabilities.

When is Bayes theorem used in real life?

It is used in medical diagnosis, spam filters, search engines, and any situation where you update beliefs with new data.

What is the formula for Bayes theorem?

P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B), where P(A) is the prior and P(A|B) is the updated posterior probability.

What is a prior probability in Bayes theorem?

The prior is your initial belief about the probability of an event before seeing new evidence. Bayes theorem updates it to a posterior.

What is the difference between prior and posterior probability?

Prior probability is your belief before new evidence. Posterior probability is the updated belief after applying Bayes theorem with new data.

Bayesi teoreem | Stats24

Miks Bayesi teoreem on oluline?

Bayesi teoreem on võimas tööriist, mis aitab meil uuendada oma uskumusi, kui saame uut informatsiooni. See on nimetatud Inglise vaimuliku Thomas Bayesi järgi, kes elas 18. sajandil. Tänapäeval kasutavad seda spam-filtrid, meditsiinidiagnostika, isesõitvad autod ja paljud teised süsteemid.

Probleemipüstitus

Eelmises tunnis nägime, et P(A|B) ei ole sama mis P(B|A). Bayesi teoreem annab meile valemi, kuidas ühest teise jõuda.

Valem

P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)

See näitab: sündmuse A tõenäosus pärast B nägemist sõltub sellest, kui hästi B ennustab A-d, kui tõenäoline oli A algusest peale, ja kui sagedane on B üldse.

Näide: meditsiiniline test

Näide

Eestis testitakse haruldast haigust, mida põeb 1 inimene 1000-st (0,1%). Test on 99% täpne:

Kui inimene ON haige, näitab test positiivset 99% juhtudest - P(positiivne|haige) = 0,99
Kui inimene EI ole haige, näitab test negatiivset 99% juhtudest - aga 1% saab valepositiivse

Sa saad positiivse tulemuse. Mis on tõenäosus, et sa tegelikult OLED haige?

Intuitiivselt võiks arvata 99%, aga vaatame:

P(haige|positiivne) = P(positiivne|haige) × P(haige) / P(positiivne)

P(positiivne) = P(positiivne|haige)×P(haige) + P(positiivne|terve)×P(terve)

P(positiivne) = 0,99 × 0,001 + 0,01 × 0,999 = 0,00099 + 0,00999 = 0,01098

P(haige|positiivne) = 0,00099 / 0,01098 ≈ 0,09 ehk umbes 9%

Ainult 9% tõenäosus! Kuigi test on 99% täpne, on positiivse tulemuse saanud inimestest ainult iga kümnes tegelikult haige. Põhjus: haigus on nii haruldane, et valepositiivseid on palju rohkem kui tõelisi positiivseid.

Miks see üllatav tulemus?

Kujuta ette 10 000 inimest:

10 on haiged (0,1%)
9 990 on terved
Haigetest saab positiivse: 10 × 0,99 ≈ 10 inimest
Tervetest saab valepositiivse: 9 990 × 0,01 ≈ 100 inimest
Kokku positiivseid: 10 + 100 = 110
Neist tegelikult haigeid: 10/110 ≈ 9%

Eeltõenäosus ja järeltõenäosus

Bayesi teoreemis on kaks olulist mõistet:

Eeltõenäosus (prior): sinu uskumus ENNE uue info saamist. Meie näites: P(haige) = 0,1%.
Järeltõenäosus (posterior): sinu uuendatud uskumus PÄRAST uut infot. Meie näites: P(haige|positiivne) = 9%.

Bayesi teoreem on viis liikuda eeltõenäosusest järeltõenäosuseni.

Näide

Wise'i pettuste tuvastamise süsteem:

Eeltõenäosus, et ülekanne on pettus: 0,5% (P(pettus) = 0,005)
Süsteem märgistab 95% tegelikest pettustest (P(märgis|pettus) = 0,95)
Süsteem märgistab ekslikult 3% seaduslikest ülekannetest (P(märgis|aus) = 0,03)

Kui ülekanne on märgistatud, mis on tõenäosus, et see on tõesti pettus?

P(pettus|märgis) = (0,95 × 0,005) / (0,95 × 0,005 + 0,03 × 0,995)

= 0,00475 / (0,00475 + 0,02985) = 0,00475 / 0,03460 ≈ 0,137 ehk 13,7%

Isegi märgistatud ülekannetest on vaid 13,7% tegelikud pettused. Seepärast vajavad need inimlikku ülevaatamist.

Bayesi teoreem igapäevaelus

Sa kasutad Bayesi mõtlemist pidevalt, isegi kui sa seda nii ei nimeta:

Arst: Alustab eeltõenäosusega (sümptomite põhjal) ja uuendab diagnoosi iga testi tulemusega.
E-post: Gmail alustab eeltõenäosusega, et kiri on spam, ja uuendab seda iga sõna põhjal kirjas.
Ilmaennustus: Algne ennustus uueneb, kui saabuvad uued satelliidiandmed.

Peатükk

Bayesi teoreem näitab, kuidas uuendada tõenäosust uue tõendusmaterjali valguses. See ühendab eeltõenäosuse (mida sa enne teadsid) tõendusmaterjaliga (mida sa just õppisid) ja annab järeltõenäosuse (sinu uuendatud uskumuse). Kõige olulisem õpetus: haruldaste sündmuste puhul võivad isegi head testid anda palju valepositiivseid tulemusi.

Bayesi teoreem