Mis on tinglik tõenäosus?
Tinglik tõenäosus vastab küsimusele: "Kui palju tõenäolisem on sündmus A, ARVESTADES et sündmus B on juba juhtunud?" See on tõenäosus, mis võtab arvesse uut informatsiooni.
Tähistame seda P(A|B), mis loetakse "A tõenäosus, tingimusel et B". Püstkriips "|" tähendab "tingimusel et" või "arvestades et".
Miks see oluline on?
Igapäevaelus uuendame pidevalt oma hinnanguid uue info põhjal. Kui hommikul on taevas pilves, siis sinu hinnang vihma tõenäosusele on kõrgem kui selge taeva korral. Sa teed tingliku tõenäosuse arvutust - isegi kui sa seda nii ei nimeta.
Eestis on umbes 30% täiskasvanud elanikest kõrgharidusega. IT-sektoris töötavate inimeste seas on kõrgharidusega umbes 70%. Seega:
P(kõrgharidus) = 0,30
P(kõrgharidus | töötab IT-s) = 0,70
Teadmine, et keegi töötab IT-s, muudab oluliselt tõenäosust, et tal on kõrgharidus.
Tingliku tõenäosuse valem
P(A|B) = P(A ja B) / P(B)
See tähendab: sündmuse A tõenäosus tingimusel B on see osa B-dest, kus ka A juhtub.
Tallinna gümnaasiumi 200 õpilase seas:
- 120 õpilast eelistavad matemaatikat
- 80 õpilast eelistavad eesti keelt
- 50 neist, kes eelistavad matemaatikat, saavad riigieksamil üle 80 punkti
- 30 neist, kes eelistavad eesti keelt, saavad üle 80 punkti
Mis on tõenäosus saada üle 80 punkti, kui õpilane eelistab matemaatikat?
P(üle 80 | matemaatika) = 50/120 ≈ 0,417 ehk 41,7%
Mis on tõenäosus saada üle 80 punkti, kui õpilane eelistab eesti keelt?
P(üle 80 | eesti keel) = 30/80 = 0,375 ehk 37,5%
Sõltumatus tingliku tõenäosuse kaudu
Kaks sündmust on sõltumatud, kui ühe toimumine ei muuda teise tõenäosust. Matemaatiliselt: A ja B on sõltumatud, kui P(A|B) = P(A).
Viskad münti ja täringut. Mis on tõenäosus saada täringul 6, tingimusel et münt näitas kulli?
P(6 | kull) = P(6) = 1/6
Mündi tulemus ei mõjuta täringut - need on sõltumatud.
Levinud viga: järjekorra segamine
P(A|B) ei ole sama mis P(B|A)! See on üks kõige levinumaid vigu tõenäosusarutlustes.
Mõtle haiguste testimisest:
P(positiivne test | haige) = 0,95 - test tuvastab 95% haigetest
P(haige | positiivne test) = ??? - see on hoopis teine küsimus!
Kui haigus on haruldane (näiteks 1 inimesel 1000-st), võib P(haige | positiivne test) olla vaid umbes 2%. Enamik positiivseid tulemusi on valepositiivsed! Seda selgitab järgmine tund Bayesi teoreemi kohta.
Puude diagramm
Puude diagramm on suurepärane viis tingliku tõenäosuse visualiseerimiseks. Iga haru näitab valikut ja selle tõenäosust.
Bolt Foodi tellimus Tallinnas:
- 60% tellimustest on toidust, 40% toidukaupadest
- Toidu tellimustest 90% jõuab õigeks ajaks, 10% hilineb
- Toidukauba tellimustest 80% jõuab õigeks ajaks, 20% hilineb
Mis on tõenäosus, et juhuslik tellimus on toit JA jõuab õigeks ajaks?
P(toit ja õigeks ajaks) = 0,60 × 0,90 = 0,54 ehk 54%
Mis on üldine tõenäosus, et tellimus jõuab õigeks ajaks?
P(õigeks ajaks) = 0,60 × 0,90 + 0,40 × 0,80 = 0,54 + 0,32 = 0,86 ehk 86%
Tinglik tõenäosus igapäevaelus
Tinglikku tõenäosust kasutad sa pidevalt:
- Ilmaennustus (vihma tõenäosus, arvestades et on pilves)
- Meditsiin (haiguse tõenäosus, arvestades sümptomeid)
- Kindlustus (õnnetuse tõenäosus, arvestades vanust ja sõidustiili)
- Spam-filter (spammi tõenäosus, arvestades teatud sõnade sisaldumist)
Tinglik tõenäosus P(A|B) on sündmuse A tõenäosus, arvestades et B on juhtunud. See erineb P(B|A)-st - järjekord loeb! Tinglik tõenäosus on aluseks Bayesi teoreemile ja paljudele igapäevastele otsustele. Uus informatsioon muudab tõenäosusi ja sinu otsused peaksid sellele vastavalt kohanduma.