Ka'idoji Uku da Za Ka Bukace
Yanzu da ka san menene yiwuwar faruwa, lokaci ya yi ka koyi yadda ake hadawa. Mafi yawan lissafin yiwuwar faruwa suna amfani da ka'idoji uku na asali: ka'idar hadawa (addition rule), ka'idar ninkawa (multiplication rule), da ka'idar kammala (complement rule). Ka yi tunanin su kamar ginshikan da duk sauran lissafin yiwuwar faruwa ke tsayawa a kai.
Ka'idar Kammala (Complement Rule)
Mafi saukin ka'ida ita ce: yiwuwar wani abu ba zai faru ba daidai yake da 1 rabi yiwuwar zai faru.
P(ba A ba) = 1 - P(A)
A kasuwar dabbobi ta Katsina, yiwuwar sayan sa mara lafiya kashi 8% ce (0.08). Menene yiwuwar sayan sa mai lafiya?
P(mai lafiya) = 1 - 0.08 = 0.92 (kashi 92%)
Wannan ka'ida tana da amfani musamman sa'ad da ya fi sauki ka lissafa abin da ba ka so, ka cire shi daga 1.
Ka'idar Hadawa (Addition Rule): "Ko"
Ka'idar hadawa tana amsa tambayar: "Menene yiwuwar abu A ko abu B ya faru?" Akwai nau'uka biyu, ya danganta da ko A da B za su iya faruwa a lokaci guda ko a'a.
Abubuwa Masu Keɓewa (Mutually Exclusive Events)
Idan A da B ba za su iya faruwa a lokaci guda ba, su ne abubuwa masu kebewa. A wannan yanayin:
P(A ko B) = P(A) + P(B)
A wasan NPFL tsakanin Kano Pillars da Enyimba, sakamako guda uku ne kawai ke yiwuwa:
- Nasarar Kano Pillars: kashi 40% (0.40)
- Canjaras: kashi 30% (0.30)
- Nasarar Enyimba: kashi 30% (0.30)
Menene yiwuwar Kano Pillars ba za ta sha kashi ba (nasara ko canjaras)?
P(nasara ko canjaras) = 0.40 + 0.30 = 0.70 (kashi 70%)
Wannan ya yi aiki saboda ba za ka iya cin nasara kuma ka yi canjaras a lokaci guda ba - sun kebanta.
Abubuwa Marasa Keɓewa (Not Mutually Exclusive)
Idan A da B za su iya faruwa a lokaci guda, kana bukatar ka cire wurin da suka hadu don kada ka kirga shi sau biyu:
P(A ko B) = P(A) + P(B) - P(A kuma B)
A cikin dalibai 200 a makarantar sakandare:
- 100 suna wasan kwallon kafa (kashi 50%)
- 80 suna cikin kungiyar karatu (kashi 40%)
- 30 suna duka biyun (kashi 15%)
Menene yiwuwar dalibin da aka zaba bazuwar yana wasan kwallon kafa ko cikin kungiyar karatu (ko duka)?
P(kwallo ko karatu) = 0.50 + 0.40 - 0.15 = 0.75 (kashi 75%)
Muna cire 0.15 ne saboda wadannan dalibai 30 an riga an kirga su a cikin duka rukunoni biyu.
Ka'idar Ninkawa (Multiplication Rule): "Kuma"
Ka'idar ninkawa tana amsa tambayar: "Menene yiwuwar abu A kuma abu B su faru?" Amsar ta dogara ne akan ko abubuwan suna da alaqa da juna ko a'a.
Abubuwa Masu Zaman Kansu (Independent Events)
Idan faruwar A ba ya shafar yiwuwar B, su ne masu zaman kansu. A wannan yanayin:
P(A kuma B) = P(A) × P(B)
Ka jefa tsabar kudi sau biyu. Menene yiwuwar samun "heads" a duka jefar biyu?
P(heads a farko) = 0.5
P(heads a na biyu) = 0.5
P(heads a duka) = 0.5 × 0.5 = 0.25 (kashi 25%)
Jefa ta farko ba ya shafar ta biyu - su masu zaman kansu ne.
A gwajin JAMB na tambayoyi da dama, kowace tambaya tana da zabubbuka 4. Idan kana yin hasashe a kan tambayoyi 3 a jere, menene yiwuwar samun duka 3 daidai?
P(duka daidai) = (1/4) × (1/4) × (1/4) = 1/64 ≈ 0.016 (kashi 1.6%)
Kusan ba zai yiwu ba! Shi ya sa ba za ka dogara da hasashe ba a jaraba.
Abubuwan da Ba Masu Zaman Kansu Ba (Dependent Events)
Idan faruwar A ya canza yiwuwar B, abubuwan suna da alaqa. A wannan yanayin:
P(A kuma B) = P(A) × P(B bayan A ya faru)
A cikin akwati akwai buhuna 10 na gyada: 7 masu inganci da 3 marasa inganci. Ka dauko buhu daya ba tare da mayarwa ba, sannan ka dauko na biyu. Menene yiwuwar duka biyun masu inganci ne?
P(na farko mai inganci) = 7/10
P(na biyu mai inganci, bayan an dauke na farko mai inganci) = 6/9
P(duka masu inganci) = (7/10) × (6/9) = 42/90 ≈ 0.467 (kashi 47%)
Ka lura cewa bayan an cire buhu na farko, sauran buhuna sun rage 9, kuma masu ingancin sun rage 6.
Hada Ka'idojin Tare
A aikace, yawancin matsaloli suna bukatar ka hada ka'idoji biyu ko fiye. Ga hanyar tunani:
- "Ko" = hadawa (+) - tare da gyara idan ba su kebanta ba
- "Kuma" = ninkawa (×) - tare da kulawa ko masu zaman kansu ne ko a'a
- "Ba" = kammala (1 - P) - juya zuwa kishiyar
Dan kasuwa yana sayo kaji 5 daga kasuwa. Yiwuwar kowace kaza ta zama mara lafiya kashi 10% ce (0.10), kuma lafiyar kowane kaza mai zaman kanta ce. Menene yiwuwar aƙalla kaza daya mara lafiya?
Mafi saukin hanya: yi amfani da ka'idar kammala!
P(babu mara lafiya) = 0.90 × 0.90 × 0.90 × 0.90 × 0.90 = 0.905 ≈ 0.59
P(akalla daya mara lafiya) = 1 - 0.59 = 0.41 (kashi 41%)
Ko da kashi 10% kawai ke da matsala a kowane kaza, akwai kusan kashi 41% damar samun akalla daya mara lafiya a cikin biyar. Wannan shine dalilin da ya sa dubawa ta farko ke da muhimmanci!
Ka'idoji uku na asali sun samar da tushen duk lissafin yiwuwar faruwa. Ka'idar kammala (1 - P) tana ba ka akasin yiwuwa. Ka'idar hadawa (+) tana aiki da "ko." Ka'idar ninkawa (×) tana aiki da "kuma." Ka tuna ka duba ko abubuwa sun kebanta (don hadawa) da kuma ko masu zaman kansu ne (don ninkawa). Wadannan ka'idoji uku za su bi ka a duk inda kididdiga ta kai ka.