Tiga Aturan yang Membuka Pintu Probabilitas
Di pelajaran sebelumnya, kita belajar bahwa probabilitas adalah angka antara 0 dan 1 yang mengukur seberapa besar kemungkinan sesuatu terjadi. Sekarang kita butuh beberapa aturan untuk menggabungkan probabilitas — karena kehidupan nyata jarang melibatkan hanya satu kejadian pada satu waktu.
Kabar baiknya: hanya ada tiga aturan dasar yang Anda butuhkan, dan semuanya mengikuti akal sehat begitu Anda melihatnya beraksi.
Aturan 1: Aturan Komplemen — "Berapa Peluang Itu TIDAK Terjadi?"
Kadang cara termudah menemukan probabilitas adalah memikirkan kebalikannya. Komplemen dari suatu kejadian adalah segala sesuatu yang bukan kejadian itu.
Aturannya sangat sederhana:
P(kejadian TIDAK terjadi) = 1 - P(kejadian terjadi)
Karena semua kemungkinan harus berjumlah 1 (sesuatu pasti terjadi), peluang "bukan A" hanyalah 1 dikurangi peluang "A."
BMKG bilang ada kemungkinan hujan 30% hari ini. Berapa peluang TIDAK hujan?
P(tidak hujan) = 1 - 0,30 = 0,70, atau 70%.
Sesimpel itu. Jika ada 30% kemungkinan hujan, ada 70% kemungkinan cuaca cerah.
Anda bermain ular tangga dan perlu melempar dadu selain angka 1 agar tetap dalam permainan. Berapa probabilitas Anda selamat?
P(melempar angka 1) = 1/6 = 0,167. Jadi P(BUKAN angka 1) = 1 - 1/6 = 5/6 = 0,833, atau sekitar 83,3%. Peluang ada di pihak Anda.
Aturan komplemen sangat berguna ketika ada banyak cara sesuatu bisa terjadi dan hanya sedikit cara yang tidak bisa. Alih-alih menjumlahkan semua cara yang bisa terjadi, cukup hitung sedikit cara yang tidak bisa — dan kurangi dari 1.
Aturan 2: Aturan Penjumlahan — "Berapa Peluang Ini ATAU Itu?"
Ketika Anda ingin tahu probabilitas satu kejadian atau kejadian lain terjadi, Anda menggunakan aturan penjumlahan. Tapi ada detail penting: bisakah kedua kejadian terjadi bersamaan?
Ketika Kejadian Tidak Bisa Tumpang Tindih (Saling Eksklusif)
Dua kejadian saling eksklusif jika tidak bisa terjadi bersamaan. Ketika melempar dadu, Anda tidak bisa mendapat 3 dan 5 sekaligus. Ketika kejadian saling eksklusif, cukup jumlahkan probabilitasnya:
P(A atau B) = P(A) + P(B)
Anda melempar dadu. Berapa probabilitas mendapat 2 atau 5?
Ini saling eksklusif — Anda tidak bisa melempar keduanya sekaligus. P(2) = 1/6 dan P(5) = 1/6.
P(2 atau 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 = 0,333, atau sekitar 33,3%.
Ketika Kejadian BISA Tumpang Tindih
Jika dua kejadian bisa terjadi bersamaan, menjumlahkan probabilitasnya akan menghitung tumpang tindih dua kali. Jadi Anda perlu menguranginya:
P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A dan B)
Dalam setumpuk 52 kartu remi standar, berapa probabilitas mengambil kartu hati atau kartu ratu?
Ada 13 kartu hati dan 4 kartu ratu. Tapi satu kartu — ratu hati — termasuk keduanya. Jika kita hanya menjumlahkan 13 + 4 = 17, kita menghitung kartu itu dua kali.
P(hati) = 13/52. P(ratu) = 4/52. P(ratu hati) = 1/52.
P(hati atau ratu) = 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13 = 0,308, atau sekitar 30,8%.
Cara mudah mengingatnya: jika Anda menggabungkan kejadian dengan "atau," pikirkan apakah ada tumpang tindih. Jika ada, kurangi sekali agar tidak dihitung ganda.
Aturan 3: Aturan Perkalian — "Berapa Peluang Ini DAN Itu?"
Ketika Anda ingin tahu probabilitas dua kejadian sama-sama terjadi, Anda mengalikan. Tapi lagi-lagi, ada detail penting: apakah kejadian pertama mempengaruhi yang kedua?
Kejadian Independen
Dua kejadian independen jika satu terjadi tidak mengubah probabilitas yang lain. Melempar koin dan melempar dadu adalah independen — koin tidak peduli apa yang dilakukan dadu.
P(A dan B) = P(A) x P(B)
Anda melempar koin dan melempar dadu. Berapa probabilitas mendapat gambar DAN angka 6?
P(gambar) = 1/2. P(melempar 6) = 1/6. Kejadian ini independen.
P(gambar dan 6) = 1/2 x 1/6 = 1/12 = 0,083, atau sekitar 8,3%.
Kejadian Dependen
Ketika satu kejadian mempengaruhi yang lain, mereka dependen. Dalam kasus itu, probabilitas kejadian kedua berubah berdasarkan apa yang terjadi pertama. Kita akan menjelajahi ini lebih dalam di pelajaran berikutnya tentang probabilitas bersyarat, tapi berikut pratinjau:
Anda punya kantong dengan 5 kelereng merah dan 3 kelereng biru (8 total). Anda mengambil satu kelereng, TIDAK mengembalikannya, lalu mengambil satu lagi. Berapa probabilitas mengambil dua kelereng merah berturut-turut?
Ambilan pertama: P(merah) = 5/8.
Ambilan kedua (setelah yang pertama merah): sekarang ada 4 merah dan 3 biru tersisa (7 total). P(merah) = 4/7.
P(keduanya merah) = 5/8 x 4/7 = 20/56 = 5/14 = 0,357, atau sekitar 35,7%.
Perhatikan probabilitas kedua berubah karena kita mengeluarkan satu kelereng. Itulah yang membuat kejadian ini dependen.
Menerapkan Aturan dalam Kehidupan Sehari-hari
Aturan-aturan ini bukan hanya untuk kartu dan dadu. Anda menggunakan logika ini sepanjang waktu tanpa menyadarinya.
Belanja Online
Toko online punya kemungkinan 40% masih punya ukuran Anda, dan secara independen, kemungkinan 25% sedang ada promo. Berapa probabilitas Anda menemukan ukuran Anda DAN sedang promo?
P(ukuran ada dan promo) = 0,40 x 0,25 = 0,10, atau 10%. Peluangnya kecil — mungkin lebih baik cek dulu sebelum berharap terlalu banyak.
Perjalanan dengan Pesawat
Penerbangan pertama Anda punya catatan tepat waktu 90%. Penerbangan lanjutan Anda juga 90%. Jika ini independen, probabilitas KEDUANYA tepat waktu adalah 0,90 x 0,90 = 0,81, atau 81%. Tiba-tiba angka 90% tidak terasa begitu nyaman ketika Anda butuh dua hal berjalan lancar sekaligus.
Proyek di Kantor
Anda butuh tiga hal independen untuk semuanya berjalan lancar agar proyek berhasil. Masing-masing punya kemungkinan 95% berhasil. Berapa probabilitas keseluruhan keberhasilan?
P(ketiganya berhasil) = 0,95 x 0,95 x 0,95 = 0,857, atau sekitar 85,7%.
Meskipun setiap langkah sangat mungkin berhasil, merangkainya bersama mengurangi peluang keseluruhan. Inilah mengapa rencana cadangan itu penting.
Kesalahan Umum yang Harus Dihindari
- Melupakan tumpang tindih dalam masalah "atau". Jika kejadian bisa terjadi bersamaan, ingat untuk mengurangi tumpang tindihnya.
- Mengasumsikan independensi. Mengambil kartu tanpa pengembalian, misalnya, menciptakan kejadian dependen. Selalu tanyakan: "Apakah kejadian pertama mengubah situasi untuk yang kedua?"
- Menjumlahkan padahal seharusnya mengalikan. "Atau" berarti jumlahkan (dengan penyesuaian tumpang tindih). "Dan" berarti kalikan. Mencampur keduanya adalah salah satu kesalahan paling umum.
Ringkasan Tiga Aturan
- Komplemen: P(bukan A) = 1 - P(A)
- Penjumlahan (atau): P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A dan B)
- Perkalian (dan): P(A dan B) = P(A) x P(B) jika independen
Tiga aturan ini adalah fondasi untuk segala hal lainnya dalam probabilitas. Kuasai mereka, dan Anda akan punya dasar yang kokoh untuk topik lebih lanjut yang akan menyusul.
Tiga aturan dasar probabilitas mencakup pertanyaan paling umum: aturan komplemen memberitahu peluang sesuatu TIDAK terjadi (kurangi dari 1), aturan penjumlahan menangani situasi "atau" (jumlahkan probabilitas, kurangi tumpang tindih), dan aturan perkalian menangani situasi "dan" (kalikan probabilitas, sesuaikan jika kejadian dependen). Bersama-sama, aturan ini memungkinkan Anda memecah situasi kompleks menjadi perhitungan sederhana.