Definicja
Centralne twierdzenie graniczne (CTG) stwierdza, że rozkład średnich z prób zbliża się do rozkładu normalnego w miarę wzrostu wielkości próby, niezależnie od kształtu oryginalnego rozkładu populacji. Jest to prawdziwe pod warunkiem, że próby są niezależne, a wielkość próby jest wystarczająco duża.
Jak to działa
Bez względu na to, jak wyglądają oryginalne dane - skośne, równomierne, dwumodalne - średnie z powtarzanych prób utworzą krzywą dzwonową.
Rzut jedną kostką daje płaski (równomierny) rozkład - każda liczba od 1 do 6 jest jednakowo prawdopodobna.
Ale jeśli rzucisz 30 kostkami i zapiszesz średnią, a następnie powtórzysz to 1000 razy, rozkład tych średnich będzie miał kształt dzwonu, wycentrowany wokół 3,5.
Im więcej kostek na rzut, tym bliżej rozkład średnich jest do idealnej krzywej normalnej.
Dlaczego to ważne
Centralne twierdzenie graniczne jest prawdopodobnie najważniejszym twierdzeniem w statystyce. Uzasadnia stosowanie przedziałów ufności, testów hipotez i wielu innych metod zakładających normalność. Bez CTG te narzędzia działałyby tylko na danych, które już mają rozkład normalny, co w rzeczywistości zdarza się rzadko.
CTG wyjaśnia również, dlaczego średnie są bardziej wiarygodne niż pojedyncze pomiary. Zmienność średnich z prób maleje wraz ze wzrostem wielkości próby (o współczynnik 1/pierwiastek z n), dlatego większe badania dają dokładniejsze szacunki.
Centralne twierdzenie graniczne gwarantuje, że średnie z prób są w przybliżeniu normalne dla wystarczająco dużych prób. Dlatego większość metod statystycznych działa niezależnie od kształtu oryginalnych danych.