Dwie fundamentalne reguły
Całe prawdopodobieństwo opiera się na dwóch prostych regułach: regule dodawania (kiedy interesuje nas jedno LUB drugie zdarzenie) i regule mnożenia (kiedy interesuje nas jedno I drugie zdarzenie). Opanowanie tych dwóch reguł daje solidne podstawy.
Reguła dodawania: "lub"
Kiedy chcesz wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A lub zdarzenia B, używasz reguły dodawania.
Jeśli zdarzenia się wzajemnie wykluczają (nie mogą wystąpić jednocześnie): P(A lub B) = P(A) + P(B).
Rzucasz kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 3 lub 5? Te zdarzenia się wykluczają (nie możesz wyrzucić jednocześnie 3 i 5). P(3 lub 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 ≈ 33,3%.
Ale jeśli zdarzenia mogą wystąpić jednocześnie, musisz odjąć część wspólną, żeby nie liczyć jej podwójnie: P(A lub B) = P(A) + P(B) - P(A i B).
W klasie 30 uczniów 18 gra w piłkę nożną, 12 gra w koszykówkę, a 6 gra w obie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń gra w piłkę LUB koszykówkę? P = 18/30 + 12/30 - 6/30 = 24/30 = 80%.
Gdybyśmy po prostu dodali 18 i 12, dostalibyśmy 30 - jakby cała klasa grała w coś. Ale ci 6 uczniów grających w oba sporty zostaliby policzeni podwójnie.
Reguła mnożenia: "i"
Kiedy chcesz wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A i zdarzenia B, używasz reguły mnożenia.
Jeśli zdarzenia są niezależne (jedno nie wpływa na drugie): P(A i B) = P(A) × P(B).
Rzucasz monetą i kostką jednocześnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł I szóstka? Rzut monetą nie wpływa na rzut kostką - zdarzenia są niezależne. P(orzeł i szóstka) = 1/2 × 1/6 = 1/12 ≈ 8,3%.
Zdarzenia niezależne i zależne
Dwa zdarzenia są niezależne, jeśli wystąpienie jednego nie zmienia prawdopodobieństwa drugiego. Rzuty monetą, losowania z urną ze zwracaniem - to zdarzenia niezależne.
Zdarzenia są zależne, gdy wystąpienie jednego zmienia prawdopodobieństwo drugiego. Losowanie kart z talii bez zwracania - po wyciągnięciu jednej karty szanse na kolejne się zmieniają.
W torbie są 5 czerwonych i 3 niebieskie kulki. Losujesz dwie bez zwracania. Prawdopodobieństwo, że pierwsza jest czerwona: 5/8. Jeśli pierwsza była czerwona, zostało 4 czerwone z 7 kulek. Prawdopodobieństwo, że druga też jest czerwona: 4/7. P(obie czerwone) = 5/8 × 4/7 = 20/56 ≈ 35,7%.
Zastosowanie w życiu codziennym
Te reguły mogą wydawać się abstrakcyjne, ale stosujemy je cały czas - często intuicyjnie.
Planujesz weekend w Krakowie. Prognoza mówi: 40% szans na deszcz w sobotę i 30% w niedzielę. Zakładając, że pogoda każdego dnia jest niezależna, jakie jest prawdopodobieństwo deszczu w oba dni? P = 0,4 × 0,3 = 0,12 = 12%. A prawdopodobieństwo, że będzie padać przynajmniej jednego dnia? Łatwiej obliczyć odwrotność: prawdopodobieństwo BRAKU deszczu w oba dni = 0,6 × 0,7 = 0,42. Więc prawdopodobieństwo deszczu przynajmniej raz = 1 - 0,42 = 0,58 = 58%.
Drzewa prawdopodobieństwa
Kiedy sytuacja staje się bardziej skomplikowana, przydatne jest rysowanie drzewa prawdopodobieństwa. Każde "rozgałęzienie" reprezentuje możliwy wynik, a prawdopodobieństwo na końcu gałęzi oblicza się, mnożąc prawdopodobieństwa wzdłuż ścieżki.
Uczeń zdaje maturę z dwóch przedmiotów. Prawdopodobieństwo zdania matematyki: 0,85. Prawdopodobieństwo zdania polskiego: 0,90. Zakładając niezależność: P(zdanie obu) = 0,85 × 0,90 = 0,765 = 76,5%. P(oblanie obu) = 0,15 × 0,10 = 0,015 = 1,5%. P(zdanie tylko matmy) = 0,85 × 0,10 = 0,085 = 8,5%. P(zdanie tylko polskiego) = 0,15 × 0,90 = 0,135 = 13,5%. Suma: 76,5% + 1,5% + 8,5% + 13,5% = 100%.
Częsty błąd: zakładanie niezależności
Wielu ludzi zakłada, że zdarzenia są niezależne, kiedy w rzeczywistości nie są. Na przykład: "Prawdopodobieństwo wypadku samochodowego w jednym dniu to 0,01%. Więc w roku (365 dni) to 365 × 0,01% = 3,65%." Problem: dni nie są niezależne. Jeśli jedziesz po oblodzonej drodze, ryzyko jest znacznie wyższe niż latem.
Reguła dodawania mówi, jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A lub B (dodaj, ale odejmij część wspólną). Reguła mnożenia mówi, jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A i B (pomnóż, ale uwzględnij zależność). Kluczowe jest rozróżnienie między zdarzeniami niezależnymi a zależnymi - zakładanie niezależności tam, gdzie jej nie ma, prowadzi do błędnych wniosków.