Три правила, которые открывают мир вероятности
В предыдущем уроке мы узнали, что вероятность — это число от 0 до 1, измеряющее, насколько вероятно событие. Теперь нам нужны правила для комбинирования вероятностей — потому что в реальной жизни редко всё сводится к одному событию.
Хорошая новость: вам нужно всего три базовых правила, и все они следуют здравому смыслу, когда вы увидите их в действии.
Правило 1: Правило дополнения — «Какова вероятность, что этого НЕ произойдёт?»
Иногда проще всего найти вероятность, подумав о противоположном. Дополнение события — это всё, что не является этим событием.
Правило предельно простое:
P(событие НЕ произойдёт) = 1 − P(событие произойдёт)
Поскольку все возможности в сумме дают 1 (что-то обязательно случится), вероятность «не А» — это просто 1 минус вероятность «А».
Прогноз погоды в Яндексе говорит, что вероятность дождя сегодня 30%. Какова вероятность, что дождя НЕ будет?
P(нет дождя) = 1 − 0,30 = 0,70, или 70%.
Вот и всё. Если вероятность дождя 30%, то вероятность сухой погоды — 70%.
Вы играете в настольную игру, и вам нужно выбросить на кубике что угодно, кроме единицы, чтобы остаться в игре. Какова вероятность, что вы продолжите?
P(выпадет 1) = 1/6 ≈ 0,167. Значит, P(НЕ выпадет 1) = 1 − 1/6 = 5/6 ≈ 0,833, или около 83,3%. Шансы на вашей стороне.
Правило дополнения особенно удобно, когда есть много способов, как событие может произойти, и лишь несколько — как оно не произойдёт. Вместо того чтобы складывать все варианты, посчитайте немногие, при которых событие не случится, и вычтите из 1.
Правило 2: Правило сложения — «Какова вероятность этого ИЛИ того?»
Когда вы хотите узнать вероятность одного события или другого, используется правило сложения. Но есть важная деталь: могут ли оба события произойти одновременно?
Когда события не пересекаются (взаимоисключающие)
Два события взаимоисключающие, если они не могут произойти одновременно. Когда вы бросаете кубик, вы не можете одновременно получить 3 и 5. Для взаимоисключающих событий просто складываем вероятности:
P(A или B) = P(A) + P(B)
Вы бросаете кубик. Какова вероятность выбросить 2 или 5?
Эти события взаимоисключающие — нельзя выбросить оба одновременно. P(2) = 1/6, P(5) = 1/6.
P(2 или 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 ≈ 0,333, или около 33,3%.
Когда события МОГУТ пересекаться
Если два события могут произойти одновременно, простое сложение посчитает пересечение дважды. Поэтому его нужно вычесть:
P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)
В стандартной колоде 36 карт (русская колода) какова вероятность вытянуть червовую карту или даму?
Червовых карт — 9, дам — 4. Но одна карта — дама червей — попадает в обе категории. Если просто сложить 9 + 4 = 13, мы посчитаем её дважды.
P(черви) = 9/36. P(дама) = 4/36. P(дама червей) = 1/36.
P(черви или дама) = 9/36 + 4/36 − 1/36 = 12/36 = 1/3 ≈ 0,333, или около 33,3%.
Хороший способ запомнить: если вы объединяете события через «или», подумайте, есть ли пересечение. Если есть — вычтите его, чтобы не посчитать дважды.
Правило 3: Правило умножения — «Какова вероятность этого И того?»
Когда вы хотите узнать вероятность того, что оба события произойдут, нужно умножать. Но здесь тоже есть важный нюанс: влияет ли первое событие на второе?
Независимые события
Два события независимы, если наступление одного не меняет вероятность другого. Подбрасывание монеты и бросок кубика независимы — монете всё равно, что выпало на кубике.
P(A и B) = P(A) × P(B)
Вы подбрасываете монету и бросаете кубик. Какова вероятность выпадения орла И шестёрки?
P(орёл) = 1/2. P(шестёрка) = 1/6. Эти события независимы.
P(орёл и шестёрка) = 1/2 × 1/6 = 1/12 ≈ 0,083, или около 8,3%.
Зависимые события
Когда одно событие влияет на другое, они зависимы. В таком случае вероятность второго события меняется в зависимости от того, что произошло первым. Подробнее мы рассмотрим это в следующем уроке об условной вероятности, но вот предварительный пример:
В мешке 5 красных и 3 синих шарика (всего 8). Вы достаёте один шарик, НЕ возвращаете его и достаёте второй. Какова вероятность достать два красных подряд?
Первый шарик: P(красный) = 5/8.
Второй шарик (если первый был красный): осталось 4 красных и 3 синих (всего 7). P(красный) = 4/7.
P(оба красных) = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14 ≈ 0,357, или около 35,7%.
Заметьте: вторая вероятность изменилась, потому что мы убрали шарик. Это и делает события зависимыми.
Правила в повседневной жизни
Эти правила — не только для карт и кубиков. Вы используете эту логику постоянно, даже не осознавая этого.
Покупки
В магазине Wildberries вероятность того, что ваш размер есть в наличии, — 40%, а вероятность скидки — 25%. Если эти события независимы, какова вероятность найти ваш размер И со скидкой?
P(ваш размер и скидка) = 0,40 × 0,25 = 0,10, или 10%. Невысокие шансы — лучше проверить заранее.
Транспорт
Ваш первый рейс «Аэрофлота» вылетает вовремя в 90% случаев. Пересадка тоже вовремя в 90% случаев. Если эти события независимы, вероятность, что ОБА рейса будут вовремя: 0,90 × 0,90 = 0,81, или 81%. Внезапно 90%-ная пунктуальность не кажется такой надёжной, когда нужно, чтобы два звена сработали.
Для успеха проекта нужно, чтобы три независимых этапа прошли успешно. Каждый имеет вероятность успеха 95%. Какова общая вероятность?
P(все три успешны) = 0,95 × 0,95 × 0,95 = 0,857, или около 85,7%.
Хотя каждый шаг очень вероятен, цепочка из нескольких снижает общие шансы. Вот почему запасные планы так важны.
Типичные ошибки, которых стоит избегать
- Забыть про пересечение в задачах на «или». Если события могут произойти одновременно, не забудьте вычесть пересечение.
- Предполагать независимость. Доставание карт без возврата, например, создаёт зависимые события. Всегда спрашивайте: «Первое событие меняет ситуацию для второго?»
- Складывать, когда нужно умножать. «Или» — это сложение (с поправкой на пересечение). «И» — это умножение. Путаница между ними — одна из самых частых ошибок.
Краткая сводка трёх правил
- Дополнение: P(не A) = 1 − P(A)
- Сложение (или): P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)
- Умножение (и): P(A и B) = P(A) × P(B), если события независимы
Эти три правила — строительные блоки для всего остального в теории вероятностей. Освойте их, и у вас будет прочный фундамент для более сложных тем.
Три базовых правила вероятности покрывают самые распространённые вопросы: правило дополнения говорит о вероятности того, что событие НЕ произойдёт (вычтите из 1), правило сложения работает для ситуаций «или» (складываем вероятности, вычитаем пересечение), а правило умножения — для ситуаций «и» (перемножаем вероятности, корректируя для зависимых событий). Вместе эти правила позволяют разбить сложные ситуации на простые вычисления.