Kanuni Zinazosimamia Uwezekano
Katika somo lililopita, tulijifunza uwezekano ni nini na jinsi ya kuuhesabu kwa matukio rahisi. Sasa tutajifunza kanuni ambazo zinatusaidia kuhesabu uwezekano wa matukio changamano zaidi. Kanuni hizi ni kama sheria za barabara - zinakusaidia kupitia hali ngumu bila kupotea.
Kanuni ya Nyongeza (Addition Rule)
Kanuni ya nyongeza inatusaidia kupata uwezekano wa tukio A au tukio B kutokea. Lakini kuna tofauti muhimu kulingana na kama matukio yanaweza kutokea pamoja au hapana.
Matukio Yanayotengana (Mutually Exclusive)
Matukio yanayotengana ni yale ambayo hayawezi kutokea wakati huo huo. Ukipata Division I katika mtihani wa Form 4, huwezi kupata Division II wakati huo huo. Hizi ni matukio yanayotengana.
Kwa matukio yanayotengana: P(A au B) = P(A) + P(B)
Katika ligi ya BPL, timu ina rekodi ifuatayo kwa mechi 20: ushindi 12, sare 5, kushindwa 3. Uwezekano wa mechi ijayo kuwa ushindi au sare ni kiasi gani?
P(ushindi) = 12/20 = 0.60
P(sare) = 5/20 = 0.25
P(ushindi au sare) = 0.60 + 0.25 = 0.85 au asilimia 85.
Hii inafanya kazi kwa sababu mechi haiwezi kuwa ushindi na sare wakati huo huo.
Matukio Yasiyotengana (Not Mutually Exclusive)
Wakati matukio yanaweza kutokea pamoja, lazima uondoe sehemu inayohesabiwa mara mbili.
P(A au B) = P(A) + P(B) - P(A na B)
Katika darasa la Form 6 lenye wanafunzi 50: wanafunzi 30 wanasoma Hisabati, wanafunzi 25 wanasoma Fizikia, na wanafunzi 15 wanasoma vyote viwili. Mwalimu anachagua mwanafunzi mmoja kwa nasibu. Uwezekano wa kuchaguliwa mwanafunzi anayesoma Hisabati au Fizikia ni upi?
P(Hisabati) = 30/50 = 0.60
P(Fizikia) = 25/50 = 0.50
P(Hisabati na Fizikia) = 15/50 = 0.30
P(Hisabati au Fizikia) = 0.60 + 0.50 - 0.30 = 0.80
Tunaondoa 0.30 kwa sababu wanafunzi 15 wangehesabiwa mara mbili.
Kanuni ya Kikamilisho (Complement Rule)
Uwezekano wa tukio kutotokea ni 1 ukitoa uwezekano wa kutokea. Hii ni rahisi lakini yenye nguvu sana.
P(si A) = 1 - P(A)
Uwezekano wa mvua Dar es Salaam kesho ni asilimia 30. Uwezekano wa kutonyesha mvua ni kiasi gani?
P(si mvua) = 1 - 0.30 = 0.70 au asilimia 70.
Kanuni hii ni muhimu sana unapotaka kuhesabu uwezekano wa "angalau moja" - mara nyingi ni rahisi zaidi kuhesabu uwezekano wa "hakuna hata moja" na kutoa kutoka 1.
Kanuni ya Kuzidisha (Multiplication Rule)
Kanuni ya kuzidisha inatusaidia kupata uwezekano wa tukio A na tukio B kutokea. Tena, kuna tofauti muhimu.
Matukio Huru (Independent Events)
Matukio ni huru kama kutokea kwa moja hakuathiri uwezekano wa lingine. Kutupa sarafu mara ya kwanza hakuathiri matokeo ya kutupa mara ya pili.
P(A na B) = P(A) × P(B)
Unatuma pesa kupitia M-Pesa. Uwezekano wa muamala kufanikiwa ni asilimia 98 (0.98). Unatuma miamala miwili tofauti. Uwezekano wa yote mawili kufanikiwa ni upi?
P(ya kwanza na ya pili) = 0.98 × 0.98 = 0.9604 au takriban asilimia 96.
Matukio ni huru kwa sababu muamala wa kwanza hauathiri wa pili.
Matukio Tegemezi (Dependent Events)
Matukio ni tegemezi kama kutokea kwa moja kunabadilisha uwezekano wa lingine. Hapa tunatumia uwezekano wa masharti.
Katika mfuko kuna tiketi 10 za bahati nasibu: tiketi 3 za ushindi na 7 za hasara. Unachagua tiketi mbili bila kurudisha. Uwezekano wa kupata tiketi mbili za ushindi ni upi?
P(ya kwanza ni ushindi) = 3/10
P(ya pili ni ushindi, baada ya kupata ya kwanza) = 2/9 (kwa sababu sasa kuna tiketi 2 za ushindi kati ya tiketi 9 zilizobaki)
P(zote mbili ushindi) = 3/10 × 2/9 = 6/90 = 1/15 ≈ 0.067 au asilimia 6.7
Mfano wa Vitendo: Uchaguzi na Kura za Maoni
Kampuni ya utafiti inafanya kura za maoni kabla ya uchaguzi. Wanagundua:
- Asilimia 45 wanaunga mkono Mgombea A
- Asilimia 35 wanaunga mkono Mgombea B
- Asilimia 20 hawajaamua
Matukio haya yanatengana - mtu hawezi kuunga mkono A na B wakati huo huo (katika kura za maoni zinazotoa chaguo moja tu). Uwezekano wa mtu aliyechaguliwa kwa nasibu kuunga mkono A au B = 0.45 + 0.35 = 0.80.
Uwezekano wa kuchagua watu wawili kwa nasibu ambao wote wanaunga mkono Mgombea A (tukidhani uhuru): 0.45 × 0.45 = 0.2025 au takriban asilimia 20.
Makosa ya Kawaida
- Kujumlisha uwezekano zaidi ya 1: Uwezekano wa matukio yote yanayowezekana lazima ujumlishe hadi 1. Kama unapata zaidi ya 1, kuna kosa mahali.
- Kudhani uhuru: Usifikirie matukio ni huru bila ushahidi. Alama ya Hisabati ya mwanafunzi na alama yake ya Fizikia si huru - mwanafunzi hodari kwa Hisabati mara nyingi ni hodari kwa Fizikia pia.
- Kusahau kutoa makutano: Unapohesabu "A au B" kwa matukio yasiyotengana, lazima utoe sehemu ya pamoja ili usiihesabu mara mbili.
Kanuni ya nyongeza inahesabu uwezekano wa "A au B" - jumlisha uwezekano na utoe makutano kama matukio yanaweza kutokea pamoja. Kanuni ya kikamilisho inakuambia P(si A) = 1 - P(A). Kanuni ya kuzidisha inahesabu uwezekano wa "A na B" - zidisha uwezekano, lakini uangalie kama matukio ni huru au tegemezi. Kanuni hizi tatu ni msingi wa mahesabu yote ya uwezekano.