Uwezekano Unabadilika Unapopata Taarifa Mpya
Katika maisha halisi, mara nyingi tunapata taarifa zinazobadilisha tathmini yetu ya uwezekano. Kabla ya mechi ya BPL, unaweza kusema Simba SC ina uwezekano wa asilimia 50 wa kushinda. Lakini ukisikia mshambuliaji wao mkuu ameumia na hatacheza, uwezekano wako unabadilika - labda sasa ni asilimia 35. Hii ndiyo uwezekano wa masharti: uwezekano wa tukio moja ukizingatia kwamba tukio lingine limetokea tayari.
Ufafanuzi na Fomyula
Uwezekano wa masharti unaandikwa kama P(A|B), inasomwa "uwezekano wa A ikizingatiwa B." Inamaanisha: "uwezekano wa A kutokea, tukijua kwamba B imetokea tayari."
Fomyula ni:
P(A|B) = P(A na B) ÷ P(B)
Katika darasa la Form 4 lenye wanafunzi 100: wanafunzi 60 walipita Hisabati, wanafunzi 45 walipita Kiingereza, na wanafunzi 30 walipita vyote viwili. Mwanafunzi anachaguliwa kwa nasibu. Ukijua amepita Hisabati, uwezekano wa kuwa amepita Kiingereza pia ni upi?
P(Kiingereza | Hisabati) = P(Kiingereza na Hisabati) ÷ P(Hisabati)
= (30/100) ÷ (60/100)
= 30/60 = 0.50 au asilimia 50.
Kati ya wanafunzi 60 waliofaulu Hisabati, 30 walifaulu Kiingereza pia - yaani nusu.
Uwezekano wa Masharti dhidi ya Uwezekano wa Kawaida
Tofauti ni muhimu. Uwezekano wa kawaida wa mwanafunzi kupita Kiingereza ni 45/100 = 0.45. Lakini uwezekano wa kupita Kiingereza ukijua amepita Hisabati ni 0.50. Taarifa ya ziada (kupita Hisabati) imebadilisha uwezekano.
Hospitali ya Muhimbili ina data ifuatayo ya wagonjwa 1,000 waliopimwa malaria:
- Wagonjwa 200 wana malaria kweli
- Kipimo kilionyesha chanya kwa wagonjwa 230 (ikiwa ni pamoja na baadhi wa uongo)
- Wagonjwa 180 wana malaria kweli NA kipimo kilionyesha chanya
Uwezekano wa mtu kuwa na malaria kweli ukijua kipimo chake ni chanya:
P(malaria | kipimo chanya) = 180/230 = 0.783 au asilimia 78.3
Hii ni muhimu kwa daktari kujua - si kila kipimo chanya kinamaanisha ugonjwa wa kweli.
Uhuru wa Matukio Kupitia Uwezekano wa Masharti
Matukio mawili A na B ni huru kama na tu kama P(A|B) = P(A). Yaani, kujua B imetokea hakubadilishi uwezekano wa A.
Unatupa sarafu mara mbili. Uwezekano wa kupata "heads" mara ya pili ni 1/2, haijalishi ulipata nini mara ya kwanza. P(H2|H1) = P(H2) = 0.5. Matukio ni huru.
Lakini fikiria hali ya hewa. Uwezekano wa mvua leo ni asilimia 40. Lakini ukijua jana ilinyesha, uwezekano wa mvua leo unaweza kupanda hadi asilimia 60 (kwa sababu mfumo wa hali ya hewa unaweza kuendelea). P(mvua leo | mvua jana) ≠ P(mvua leo). Matukio si huru.
Mfano wa Vitendo: M-Pesa na Ulaghai
Kampuni ya M-Pesa inataka kugundua miamala ya ulaghai. Wana data ifuatayo:
- Kati ya miamala milioni 1 kwa siku, takriban miamala 500 ni ulaghai (0.05%)
- Mfumo wao wa usalama unaonya kwa miamala 2,000 kwa siku
- Kati ya onyo hizo, 400 ni ulaghai wa kweli
Ukipata onyo kutoka kwa mfumo, uwezekano wa kuwa ulaghai wa kweli ni upi?
P(ulaghai | onyo) = 400 ÷ 2,000 = 0.20 au asilimia 20.
Hii inamaanisha onyo 4 kati ya 5 ni za uongo. Mfumo unahitaji kuboreshwa. Lakini bado ni bora kuliko kutafuta ulaghai katika miamala yote (uwezekano wa 0.05% tu).
Mtego wa Kawaida: Kubadilisha Masharti
Kosa kubwa ambalo watu wengi hufanya ni kudhani P(A|B) = P(B|A). Hizi ni tofauti kabisa.
P(mvua | mawingu) si sawa na P(mawingu | mvua). Uwezekano wa mvua ukiwa kuna mawingu ni takriban asilimia 40. Lakini uwezekano wa mawingu ukiwa kunanyesha ni karibu asilimia 100 - mvua karibu daima inakuja na mawingu. Kubadilisha masharti kunaweza kupelekea hitimisho potovu sana.
Mti wa Uwezekano
Njia moja nzuri ya kuonyesha uwezekano wa masharti ni kutumia mti wa uwezekano (probability tree). Unaanza na tukio la kwanza na kupanua matawi kwa kila matokeo yanayowezekana, kisha unaendelea na tukio la pili kwa kila tawi.
Mwanafunzi wa Form 6 anafanya mtihani wa masomo mawili: Biolojia na Kemia. Uwezekano wa kufaulu Biolojia ni 0.7. Akifaulu Biolojia, uwezekano wa kufaulu Kemia ni 0.8. Asipofaulu Biolojia, uwezekano wa kufaulu Kemia ni 0.5.
Uwezekano wa kufaulu vyote viwili = 0.7 × 0.8 = 0.56
Uwezekano wa kufaulu Kemia tu (si Biolojia) = 0.3 × 0.5 = 0.15
Uwezekano wa kufaulu Kemia kwa ujumla = 0.56 + 0.15 = 0.71
Uwezekano wa masharti P(A|B) ni uwezekano wa A kutokea ukijua B imetokea. Unahesabiwa kwa P(A na B) ÷ P(B). Taarifa mpya inabadilisha uwezekano wetu. Kumbuka: P(A|B) si sawa na P(B|A) - kubadilisha masharti ni kosa la kawaida na hatari. Uwezekano wa masharti ni msingi wa maamuzi mengi ya afya, usalama, na biashara.