Usambazaji wa Kawaida & Alama Z

Mkunjo wa Kengele Uko Kila Mahali

Kama ungepima urefu wa kila mtu mzima katika jiji kubwa na kuzipanga kwenye chati, ungeona umbo la kawaida: kilima laini, la ulinganifu linalofikia kilele katikati na kupungua pande zote mbili. Umbo hili linaitwa usambazaji wa kawaida, na bila shaka ni dhana muhimu zaidi katika takwimu zote.

Usambazaji wa kawaida unaonekana katika maeneo mengi ya kushangaza. Alama za mitihani, vipimo vya shinikizo la damu, muda wa kusafiri kwenda kazini, uvumilivu wa viwanda katika kiwanda, hata makosa katika vipimo vya kisayansi -- yote haya yanafuata muundo wa kengele. Sababu ni ya kihisabati: wakati wowote kipimo kinaathiriwa na mambo mengi madogo, huru, matokeo yanaelekea kuwa na usambazaji wa kawaida. Kanuni hii inahusiana kwa karibu na Nadharia ya Kikomo cha Kati.

Katika chati hapo juu, kilele kinawakilisha thamani ya kawaida zaidi (wastani), na mkunjo unapungua kwa ulinganifu pande zote mbili. Thamani nyingi zinajikusanya karibu na katikati, na uchunguzi unapungua kadri unavyosogea kuelekea miisho.

Wastani, Kupotoka kwa Kawaida, na Umbo

Usambazaji wa kawaida unafafanuliwa kabisa na nambari mbili tu: wastani (katikati ya mkunjo) na kupotoka kwa kawaida (jinsi data inavyoenea). Wastani unakuambia kilele kinakaa wapi kwenye mstari wa nambari. Kupotoka kwa kawaida kunakuambia jinsi kengele inavyokuwa pana au nyembamba.

Fikiria alama za IQ, ambazo zimeundwa kufuata usambazaji wa kawaida wenye wastani wa 100 na kupotoka kwa kawaida kwa 15. Watu wengi wanapata alama kati ya 85 na 115. Wachache wanapata chini ya 70 au zaidi ya 130. Wachache sana wanapata chini ya 55 au zaidi ya 145. Badilisha kupotoka kwa kawaida kuwa 5, na kengele inakuwa nyembamba sana -- karibu kila mtu anajikusanya kati ya 90 na 110. Badilisha kuwa 25, na kengele inasawazika, na alama zinaenea zaidi.

Hii ndiyo uzuri wa usambazaji wa kawaida: mara tu unapojua wastani na kupotoka kwa kawaida, unajua umbo zima na unaweza kuhesabu uwezekano wa thamani yoyote kutokea.

Kanuni ya 68-95-99.7

Moja ya sifa za vitendo zaidi za usambazaji wa kawaida ni kanuni ya majaribio, pia inajulikana kama kanuni ya 68-95-99.7. Inasema kuwa kwa data yoyote yenye usambazaji wa kawaida:

• Takriban 68% ya thamani zinakuwa ndani ya kupotoka kwa kawaida 1 kutoka wastani.
• Takriban 95% ya thamani zinakuwa ndani ya kupotoka kwa kawaida 2.
• Takriban 99.7% ya thamani zinakuwa ndani ya kupotoka kwa kawaida 3.

Kanuni hii inakupa njia ya haraka ya kupima jinsi thamani inavyokuwa isiyo ya kawaida. Ikiwa data yako ina usambazaji wa kawaida na mtu anaripoti thamani zaidi ya kupotoka kwa kawaida 3 kutoka wastani, hiyo ni nadra sana -- inatokea chini ya 0.3% ya wakati. Wahandisi wa udhibiti wa ubora wanatumia wazo hili kila siku: sehemu ya kiwanda inayoanguka nje ya kupotoka kwa kawaida tatu kutoka kipimo kinacholengwa inawekwa alama kuwa ina kasoro.

Alama Z: Kipimo cha Ulimwengu

Usambazaji tofauti wa kawaida unatumia vitengo na vipimo tofauti. Unalinganishaje alama ya mtihani ya 82 kwenye mtihani ambapo wastani ni 75 (kupotoka kwa kawaida 5) na alama ya SAT ya 720 ambapo wastani ni 500 (kupotoka kwa kawaida 100)? Unatumia alama z.

Alama z inakuambia kupotoka kwa kawaida ngapi thamani iko juu au chini ya wastani. Fomula ni rahisi: toa wastani kutoka thamani, kisha gawanya kwa kupotoka kwa kawaida. Kwa alama ya mtihani: (82 - 75) / 5 = 1.4. Kwa SAT: (720 - 500) / 100 = 2.2. Alama ya SAT ni ya kuvutia zaidi kulingana na usambazaji wake kwa sababu iko mbali zaidi na wastani katika vitengo vya kupotoka kwa kawaida.

Alama z ya 0 ina maana thamani ni wastani hasa. Alama z chanya ina maana iko juu ya wastani. Alama z hasi ina maana iko chini ya wastani. Ukubwa unakuambia jinsi ilivyo mbali na wastani. Alama z ya 2.0 ina maana thamani ni kubwa kuliko takriban 97.7% ya thamani zote katika usambazaji.

Alama z ni zenye nguvu kwa sababu zinabadilisha usambazaji wowote wa kawaida kuwa usambazaji wa kawaida wa kiwango -- mkunjo wa kengele wenye wastani 0 na kupotoka kwa kawaida 1. Hii inakuruhusu kutumia jedwali moja la rejea (au kikokotoo) kupata uwezekano wa kigezo chochote chenye usambazaji wa kawaida, bila kujali kipimo chake cha awali.

Matumizi ya Ulimwengu Halisi

Usambazaji wa kawaida na alama z si mawazo ya kitabu tu. Kuweka alama kwa mkunjo ina maana kupanga alama za wanafunzi kwa usambazaji wa kawaida. Matokeo ya maabara ya matibabu mara nyingi yanawekwa alama kuwa yasiyo ya kawaida yanapokuwa zaidi ya kupotoka kwa kawaida 2 kutoka wastani wa idadi ya watu. Wachambuzi wa fedha wanaiga mapato ya hisa kwa kutumia usambazaji wa kawaida (ingawa mikia mara nyingi ni nene zaidi katika ukweli, ambayo ni kizuizi muhimu). Makampuni ya bima yanatumia mifano ya kawaida kukadiria madai.

Ni muhimu pia kujua usambazaji wa kawaida hautatumiki lini. Usambazaji wa mapato unaelekea sana kulia -- watu wachache wenye mapato makubwa sana wanavuta wastani mbali na kati. Nyakati za kusubiri na data ya kuishi mara nyingi zinaelekea pia. Data ya kuhesabu (kama idadi ya ajali kwa siku) inafuata usambazaji mwingine kabisa. Daima angalia kama dhana ya mkunjo wa kengele ni ya busara kabla ya kutumia zana hizi.