Kupotoka kwa Kawaida ni Nini?
Katika somo lililopita, tulijifunza kuhusu tofauti (variance) - jinsi data inavyoenea kutoka wastani. Lakini tofauti ina tatizo moja: matokeo yake ni katika vitengo vya mraba (kama "kilo mraba" au "shilingi mraba"), ambavyo si rahisi kuelewa. Kupotoka kwa kawaida (standard deviation) kunatatua tatizo hili kwa kuchukua mzizi wa mraba wa tofauti, na kurudisha matokeo katika vitengo vya awali.
Kupotoka kwa Kawaida = √Tofauti
Kwa maneno rahisi, kupotoka kwa kawaida kinakuambia: "Kwa wastani, thamani katika data yangu zinapotoka kiasi gani kutoka wastani?"
Kuhesabu Kupotoka kwa Kawaida
Alama za wanafunzi 5 katika mtihani wa Hisabati Form 4: 60, 65, 70, 75, 80.
Hatua ya 1: Wastani = (60+65+70+75+80) ÷ 5 = 70
Hatua ya 2: Tofauti kutoka wastani: -10, -5, 0, +5, +10
Hatua ya 3: Mraba: 100, 25, 0, 25, 100
Hatua ya 4: Tofauti = (100+25+0+25+100) ÷ 5 = 50
Hatua ya 5: Kupotoka kwa kawaida = √50 ≈ 7.07
Kwa wastani, alama za wanafunzi zinapotoka takriban pointi 7 kutoka wastani wa 70.
Kuelewa kwa Mfano wa Vitendo
Hebu tulinganishe mashamba mawili ya chai katika mkoa wa Tanga:
Shamba A - Mavuno ya chai kwa wiki (kilo): 100, 105, 98, 102, 95
Wastani = 100, Kupotoka kwa kawaida ≈ 3.5
Shamba B - Mavuno ya chai kwa wiki (kilo): 70, 130, 60, 140, 100
Wastani = 100, Kupotoka kwa kawaida ≈ 32.9
Mashamba yote mawili yana wastani sawa wa kilo 100, lakini Shamba A lina mavuno thabiti (SD ndogo) ilhali Shamba B ina mavuno yanayobadilika sana (SD kubwa). Kama unununuzi chai, ungependelea Shamba A kwa sababu ya uthabiti.
Kanuni ya 68-95-99.7
Kwa data inayofuata usambazaji wa kawaida (kengele), kupotoka kwa kawaida kina uhusiano maalum na asilimia ya data:
- Asilimia 68 ya data iko ndani ya kupotoka 1 kutoka wastani
- Asilimia 95 ya data iko ndani ya kupotoka 2 kutoka wastani
- Asilimia 99.7 ya data iko ndani ya kupotoka 3 kutoka wastani
Alama za mtihani wa kitaifa wa Form 4 zina wastani wa 250 na kupotoka kwa kawaida wa 40 (kati ya pointi 500).
- Asilimia 68 ya wanafunzi walipata kati ya 210 na 290
- Asilimia 95 walipata kati ya 170 na 330
- Asilimia 99.7 walipata kati ya 130 na 370
Mwanafunzi aliyepata 350 yuko zaidi ya kupotoka 2 kutoka wastani - ni katika asilimia 2.5 ya juu. Mwanafunzi aliyepata 100 yuko zaidi ya kupotoka 3 - ni nadra sana.
SD Kubwa dhidi ya SD Ndogo
Kupotoka kwa kawaida kidogo kunamaanisha data imekolea karibu na wastani - thamani zinafanana. Kupotoka kwa kawaida kikubwa kunamaanisha data imeenea - thamani zinatofautiana sana.
Fikiria bei ya nyanya sokoni (Tsh kwa kilo):
Msimu wa mavuno: Bei katika masoko 10: 800, 850, 900, 800, 950, 850, 900, 800, 850, 900. Wastani ≈ 860, SD ≈ 50.
Msimu wa ukame: Bei katika masoko 10: 500, 1,200, 800, 2,000, 600, 1,500, 1,000, 700, 1,800, 900. Wastani ≈ 1,100, SD ≈ 480.
Wakati wa ukame, bei si tu ni kubwa zaidi (wastani wa juu) bali pia ni tofauti sana kati ya masoko (SD kubwa). Hii inaathiri watumiaji ambao hawajui wapi bei ni nafuu.
Kutumia Kupotoka kwa Kawaida Katika Maisha Halisi
Kupotoka kwa kawaida kinatumika kila mahali:
- Ubora wa bidhaa: Kiwanda cha kutengeneza mifuko ya sementi kinataka kila mfuko uwe kilo 50. SD ndogo (tuseme 0.3 kilo) inamaanisha udhibiti mzuri; SD kubwa (2 kilo) inamaanisha tatizo la ubora.
- Matokeo ya mitihani: NECTA inaweza kutumia SD kuona kama mtihani ulikuwa mgumu sana (SD ndogo, wote walipata alama za chini) au ulikuwa na usawa mzuri (SD ya wastani).
- Uwekezaji: Hisa yenye SD kubwa ya bei ni hatari zaidi (bei inabadilika sana) kuliko hisa yenye SD ndogo.
- Kilimo: Mkulima anayetaka kutabiri mavuno yake anapendelea zao lenye SD ndogo - matokeo yanatabirika zaidi.
Kosa la Kawaida
Watu wengi huangalia wastani tu na kupuuza kupotoka kwa kawaida. Mfano: kampuni mbili za bima zinasema gharama ya wastani ya bima ya afya ni Tsh 50,000 kwa mwezi. Lakini moja ina SD ya Tsh 5,000 (bei thabiti kwa wateja wote) na nyingine ina SD ya Tsh 30,000 (baadhi ya wateja wanalipa Tsh 20,000 na wengine Tsh 80,000). Kampuni ya pili ina tofauti kubwa na inaweza kuwa na masharti magumu zaidi.
Kupotoka kwa kawaida ni mzizi wa mraba wa tofauti na kinapima jinsi data inavyoenea kutoka wastani. SD ndogo inamaanisha data imekolea; SD kubwa inamaanisha data imeenea. Kanuni ya 68-95-99.7 inakuambia jinsi data inavyosambaa kwa usambazaji wa kawaida. Daima angalia kupotoka kwa kawaida pamoja na wastani - wastani peke yake haukuambii hadithi kamili.