Olasılığı Açan Üç Kural
Önceki derste olasılık 0 ile 1 arasında bir şeyin olma ihtimalini ölçen bir sayı olduğunu öğrendik. Şimdi olasılıkları birleştirmek için bazı kurallara ihtiyacımız var - çünkü gerçek hayat nadiren tek bir olay içerir.
İyi haber: sadece üç temel kurala ihtiyacınız var ve hepsini uygulamada gördüğünüzde sağduyuya uyuyor.
Kural 1: Tümleyen Kural - "Olmamasının Şansı Nedir?"
Bazen olasılığı bulmanın en kolay yolu tersini düşünmektir. Bir olayın tümlayeni, o olay olmayan her şeydir.
Kural çok basittir:
P(olay olmaz) = 1 − P(olay olur)
Tüm olasılıkların toplamı 1 olmak zorunda olduğu için (bir şey mutlaka olacak), "A değil"in şansı sadece 1 eksi "A"nın şansıdır.
Hava durumu tahmini bugün %30 yağmur olasılığı diyor. Yağmur yağmayacak olasılığı nedir?
P(yağmur yok) = 1 − 0,30 = 0,70, yani %70.
Bu kadar. %30 yağmur şansı varsa, %70 kuru hava şansı var.
Bir masa oyunu oynuyorsunuz ve oyunda kalmak için altı yüzlü zarda 1 dışında bir şey atmanız gerekiyor. Hayatta kalma olasılığınız nedir?
P(1 atma) = 1/6 ≈ 0,167. Yani P(1 atmama) = 1 − 1/6 = 5/6 ≈ 0,833, yani yaklaşık %83,3. Şanslar sizden yana.
Tümleyen kural özellikle bir şeyin olmasının pek çok yolu olduğu ve olmamasının sadece birkaç yolu olduğu durumlarda kullanışlıdır. Tüm olma yollarını toplamak yerine, sadece olmama yollarını hesaplayın ve 1'den çıkarın.
Kural 2: Toplama Kuralı - "Bunun VEYA Şunun Şansı Nedir?"
Bir olayın veya diğerinin olasılığını bilmek istediğinizde toplama kuralını kullanırsınız. Ama önemli bir detay var: iki olay aynı anda olabilir mi?
Olaylar Çakışamadığında (Birbirini Dışlayan)
İki olay aynı anda olamıyorsa, birbirini dışlayan olaylardır. Bir zar attığınızda, aynı atışta hem 3 hem 5 gelemez. Olaylar birbirini dışladığında, olasılıkları basitçe toplarsınız:
P(A veya B) = P(A) + P(B)
Bir zar atıyorsunuz. 2 veya 5 gelme olasılığı nedir?
Bunlar birbirini dışlayan - ikisi aynı anda gelemez. P(2) = 1/6 ve P(5) = 1/6.
P(2 veya 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 ≈ 0,333, yani yaklaşık %33,3.
Olaylar Çakışabildiğinde
İki olay aynı anda olabilirse, olasılıkları toplamak çakışmayı iki kez sayar. Bu yüzden çıkarmanız gerekir:
P(A veya B) = P(A) + P(B) − P(A ve B)
52 kartlık standart bir desteden kart çekiyorsunuz. Kupa veya kız çekme olasılığı nedir?
13 kupa ve 4 kız var. Ama bir kart - kupa kızı - ikisi birden. Sadece 13 + 4 = 17 toplarsak, o kartı iki kez sayarız.
P(kupa) = 13/52. P(kız) = 4/52. P(kupa kızı) = 1/52.
P(kupa veya kız) = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13 ≈ 0,308, yani yaklaşık %30,8.
Bunu hatırlamanın iyi bir yolu: olayları "veya" ile birleştiriyorsanız, çakışma olup olmadığını düşünün. Varsa, çifte saymayı önlemek için bir kez çıkarın.
Kural 3: Çarpma Kuralı - "Bunun VE Şunun Şansı Nedir?"
İki olayın birlikte olma olasılığını bilmek istediğinizde çarpma işlemi yaparsınız. Ama yine önemli bir detay var: birinci olay ikincisini etkiler mi?
Bağımsız Olaylar
Birinin olması diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa, iki olay bağımsızdır. Yazı-tura atmak ve zar atmak bağımsızdır - para zarla ilgilenmez.
P(A ve B) = P(A) x P(B)
Bir para ve bir zar atıyorsunuz. Yazı VE 6 gelme olasılığı nedir?
P(yazı) = 1/2. P(6 atma) = 1/6. Bu olaylar bağımsız.
P(yazı ve 6) = 1/2 x 1/6 = 1/12 ≈ 0,083, yani yaklaşık %8,3.
Bağımlı Olaylar
Bir olay diğerini etkilediğinde, bağımlıdır. Bu durumda, ikinci olayın olasılığı birincide ne olduğuna göre değişir. Bunu sonraki koşullu olasılık dersinde daha derinlemesine inceleyeceğiz, ama işte bir önizleme:
Bir torbada 5 kırmızı ve 3 mavi bilye var (toplam 8). Bir bilye çekiyorsunuz, geri KOYMUYORSUNUZ ve ikinci bir bilye çekiyorsunuz. Arka arkaya iki kırmızı bilye çekme olasılığı nedir?
Birinci çekiş: P(kırmızı) = 5/8.
İkinci çekiş (birincisi kırmızı olduğuna göre): şimdi 4 kırmızı ve 3 mavi kaldı (toplam 7). P(kırmızı) = 4/7.
P(ikisi de kırmızı) = 5/8 x 4/7 = 20/56 = 5/14 ≈ 0,357, yani yaklaşık %35,7.
İkinci olasılık değiştiğine dikkat edin çünkü bir bilye çıkardık. Olayları bağımlı yapan budur.
Kuralları Günlük Hayatta Kullanmak
Bu kurallar sadece kartlar ve zarlar için değildir. Farkında olmadan bu mantığı sürekli kullanıyorsunuz.
Alışveriş Kararları
Bir mağazanın bedeninizi stokta bulundurma olasılığı %40 ve bağımsız olarak indirim yapma olasılığı %25. Bedeninizi bulmanız VE indirimli olma olasılığı nedir?
P(beden ve indirim) = 0,40 x 0,25 = 0,10, yani %10. Pek iyi ihtimaller değil - belki gitmeden önce arayın.
Sağlık Taraması
Belirli bir yaş grubundaki insanların %2'sinde bir hastalık var. Tümleyen kuralı size %98'inde OLMADIĞINI söyler. Basit ama güçlü - bir şeyin ne kadar yaygın veya nadir olduğunu çerçeveler.
Seyahat Planlaması
İstanbul'dan Ankara'ya giden uçağınızın zamanında kalkma oranı %90. Ankara'dan aktarma uçuşunuz da %90. Bunlar bağımsızsa, İKİSİNİN de zamanında olma olasılığı 0,90 x 0,90 = 0,81, yani %81. Birden %90'lık oran, iki şeyin doğru gitmesi gerektiğinde o kadar rahatlatıcı hissetmiyor.
Bir projenin başarılı olması için üç bağımsız şeyin doğru gitmesi gerekiyor. Her birinin başarı şansı %95. Toplam başarı olasılığı nedir?
P(üçü de başarılı) = 0,95 x 0,95 x 0,95 = 0,857, yani yaklaşık %85,7.
Her adım çok muhtemel olsa bile, onları art arda dizmek genel olasılığı düşürür. Bu yüzden B planlarının önemi vardır.
Kaçınılması Gereken Yaygın Hatalar
- "Veya" problemlerinde çakışmayı unutmak. Olaylar aynı anda olabiliyorsa, çakışmayı çıkarmayı unutmayın.
- Bağımsızlık varsaymak. Örneğin, geri koymadan kart çekmek bağımlı olaylar oluşturur. Her zaman sorun: "Birinci olay ikincinin durumunu değiştirir mi?"
- Çarpmak gerekirken toplamak. "Veya" toplamak (çakışma ayarlamasıyla) demek. "Ve" çarpmak demek. Bunları karıştırmak en yaygın hatalardan biridir.
Üç Kuralın Hızlı Özeti
- Tümleyen: P(A değil) = 1 − P(A)
- Toplama (veya): P(A veya B) = P(A) + P(B) − P(A ve B)
- Çarpma (ve): P(A ve B) = P(A) x P(B), eğer bağımsızsa
Bu üç kural, olasılıktaki diğer her şeyin yapı taşlarıdır. Onları özümseyin ve sonraki ileri konular için sağlam bir temel elde edin.
Üç temel olasılık kuralı en yaygın soruları kapsar: tümleyen kuralı bir şeyin OLMAMA şansını söyler (1'den çıkar), toplama kuralı "veya" durumlarını yönetir (olasılıkları toplayın, çakışmayı çıkarın) ve çarpma kuralı "ve" durumlarını yönetir (olasılıkları çarpın, olaylar bağımlıysa ayarlayın). Bu kurallar birlikte, karmaşık durumları basit hesaplamalara bölmenizi sağlar.