Ихтималлык кагыйдәләре - ни өчен кирәк?
Алдагы дәрестә без ихтималлыкның нәрсә икәнен белдек. Хәзер аны исәпләү кагыйдәләрен өйрәнәбез. Бу кагыйдәләр белән катлаулырак сорауларга җавап бирә алырсыз: «Ике вакыйганың икесе дә булу ихтималлыгы ничәгә тигез?» яки «Берсе яки икенчесе булу ихтималлыгы нинди?»
Комплементар кагыйдә
Вакыйга булу ихтималлыгы + булмау ихтималлыгы = 1. Бу иң гади кагыйдә, ләкин бик файдалы.
P(A булмый) = 1 − P(A)
Казан метросында бер поезд вакытында килү ихтималлыгы 0.92. Соңга калу ихтималлыгы = 1 − 0.92 = 0.08 = 8%. Кайвакыт «булмау» ихтималлыгын исәпләү «булу» дан җиңелрәк.
Кушу кагыйдәсе: «яки» сорауы
«А яки Б» булу ихтималлыгын табу - кушу кагыйдәсе. Ике вариант бар:
Бер-берсен юкка чыгаручы вакыйгалар
Ике вакыйга бер вакытта була алмаса - алар бер-берсен юкка чыгара. Бу очракта:
P(A яки Б) = P(A) + P(Б)
Зар ташлыйсыз. 2 чыгу ихтималлыгы = 1/6. 5 чыгу ихтималлыгы = 1/6. «2 яки 5» чыгу ихтималлыгы = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 ≈ 33%. (2 белән 5 бер вакытта чыга алмый - бер-берсен юкка чыгаручы.)
Бер-берсен юкка чыгармаучы вакыйгалар
Ике вакыйга бер вакытта булырга мөмкин булса, кисешүне алу кирәк:
P(A яки Б) = P(A) + P(Б) − P(A һәм Б)
КФУ да 200 студент. 120 се математика өйрәнә, 80 се программалаштыру. 50 се икесен дә. Очраклы студент математика яки программалаштыру өйрәнү ихтималлыгы:
P = 120/200 + 80/200 − 50/200 = 150/200 = 0.75 = 75%
50 не алмасак - 150 урынына 200 алыр идек, ягъни кайберләрен ике тапкыр санар идек.
Тапкырлау кагыйдәсе: «һәм» сорауы
«А һәм Б» икесе дә булу ихтималлыгын табу - тапкырлау кагыйдәсе.
Тәуелсез вакыйгалар
Бер вакыйга икенче вакыйгага тәэсир итмәсә - алар тәуелсез:
P(A һәм Б) = P(A) × P(Б)
Монетаны ике тапкыр ташлыйсыз. Беренчедә «башлы», икенчедә дә «башлы» чыгу ихтималлыгы:
P = 0.5 × 0.5 = 0.25 = 25%
Беренче ташлау икенчегә тәэсир итми - алар тәуелсез.
Тәуелле вакыйгалар
Бер вакыйга икенчегә тәэсир итсә - алар тәуелле. Бу очракта шартлы ихтималлык кулланыла (киләсе дәрестә тулырак).
Тартмада 5 кызыл, 3 зәңгәр шар. Беренче шарны алып, кире салмыйча, икенчесен аласыз. Беренче кызыл, икенче дә кызыл чыгу ихтималлыгы:
Беренче кызыл: 5/8. Беренче кызыл алыннан соң, калды: 4 кызыл, 3 зәңгәр = 7 шар.
Икенче кызыл: 4/7.
P = 5/8 × 4/7 = 20/56 ≈ 0.357 = 35.7%
«Кимендә бер» ихтималлыгы
«Кимендә бер тапкыр булу» ихтималлыгын исәпләүнең иң җиңел юлы - комплементар кагыйдәне куллану:
P(кимендә бер) = 1 − P(бер дә булмый)
Лотерея билетында җиңү ихтималлыгы 10%. 3 билет алдыгыз. Кимендә беренда җиңү ихтималлыгы:
Бер дә җиңмәү: 0.9 × 0.9 × 0.9 = 0.729
Кимендә бер җиңү: 1 − 0.729 = 0.271 = 27.1%
Еш очрый торган хаталар
- «Монета хәтерләми»: 5 тапкыр рәттән «башлы» чыкканнан соң, киләсе тапкыр «язма» чыгу ихтималлыгы 50% - «башлы» түгел. Монетаның хәтере юк.
- Ихтималлыкларны дөрес кушмау: Тәуелсез вакыйгаларда P(A яки Б) ≠ P(A) + P(Б), әгәр алар бер-берсен юкка чыгармаса.
Комплементар кагыйдә: P(A булмый) = 1 − P(A). Кушу кагыйдәсе: «A яки Б» - ихтималлыкларны кушу (кисешүне алып). Тапкырлау кагыйдәсе: «А һәм Б» - ихтималлыкларны тапкырлау. Тәуелсез вакыйгаларда P(A һәм Б) = P(A) × P(Б). Бу кагыйдәләр - ихтималлык белән эшләүнең нигезе.