Ни өчен бу теорема шулай мөһим?
Үзәк чик теоремасы (ҮЧТ) - статистиканың нигез ташы. Ул аңлата: сайлама зур булганда, сайлама уртачаларының бүленеше нормаль бүленешкә якынлаша - чимал мәгълүмат нинди бүленештә булуына карамастан. Бу - мөгҗиза кебек, ләкин математик яктан исбатланган.
Гади тел белән
Күз алдыгызга китерегез: Татарстан халкының яшен тикшерәсез. Яшь бүленеше нормаль түгел - балалар да, яшьләр дә, пенсионерлар да бар. Ләкин шуны ясагыз:
- Очраклы 50 кешелек сайлама алыгыз, уртача яшен исәпләгез.
- Тагын 50 кешелек сайлама алыгыз, уртача яшен исәпләгез.
- Моны 1 000 тапкыр кабатлагыз.
Бу 1 000 уртачаның бүленешен карасагыз - ул нормаль бүленешкә бик якын булачак! Чимал мәгълүмат нинди формада булуына карамастан.
Зар ташлау - бертигез бүленеш (1-6, һәрберсе 1/6). Кыңгырауга бөтенләй охшамый. Ләкин 30 зарның уртачасын исәпләсәгез, моны 1 000 тапкыр кабатласагыз - бу 1 000 уртача бик матур кыңгырау формасына ия булачак, 3.5 тирәсендә. Бу ҮЧТ.
Шартлар
ҮЧТ эшли, әгәр:
- Сайлама зурлыгы җитәрлек. Гадәттә n ≥ 30 дип саныла. Чимал бүленеш нормальгә якын булса - кечерәк n дә булдыра.
- Сайлама очраклы. Һәр объект тигез мөмкинлек белән сайланган.
- Сайламалар тәуелсез. Бер сайлама икенчегә тәэсир итми.
Сайлама уртачаларының таралышы
ҮЧТ буенча, сайлама уртачаларының бүленеше:
- Үзәге: популяция уртачасына тигез (μ)
- Стандарт хатасы: σ ÷ √n (популяция стандарт тайпылуы / сайлама зурлыгының тамыры)
Сайлама зуррак - стандарт хатасы кечерәк - уртача төгәлрәк.
Казан автобусларының гадәттәге юлдагы вакыты уртача 25 минут, стандарт тайпылу 8 минут. 64 рейсның уртачасын алсак:
Стандарт хатасы = 8 ÷ √64 = 8 ÷ 8 = 1 минут
64 рейсның уртачасы 25 минуттан ±2-3 минутка тайпылыр (95% ышаныч). 1 рейс бик аерылырга мөмкин (17 минут яки 35 минут), ләкин 64 рейсның уртачасы - тотрыклы.
Ни өчен √n гә бүләбез?
Сайлама зуррак - очраклы ялгышлыклар бер-берсен «тигезләндерә». Бер автобус 35 минут йөрсә, икенчесе 15 минут - уртачада 25 тирәсендә. Күбрәк объект - тигезләнү яхшырак - стандарт хатасы кечерәк.
Практик мәгънәсе
ҮЧТ - ышаныч интерваллары, гипотеза тикшерү, p-кыйммәтләр кебек статистик методларның нигезе. Без аларны сайлама уртачасы нормаль бүленгән дип фараз итеп кулланабыз - ҮЧТ бу фаразны нигезли.
Татарстан статистика идарәсе 1 500 гаиләгә сорау бирә. Гаилә керемнәре бүленеше нормаль түгел - күпчелек уртача, берничәсе бик бай. Ләкин 1 500 гаиләнең уртача керемен исәпләгәндә, бу уртача - нормаль бүленешкә якын. Шуңа ышаныч интервалларын исәпләп була.
Визуаль итеп
Аерым мәгълүматлар - тарала. Сайлама уртачалары - тыгызлана. Зуррак сайлама - тагын да тыгызрак. Бу ҮЧТ нең визуаль аңлатмасы.
Үзәк чик теоремасы: сайлама зур булганда (n ≥ 30), сайлама уртачаларының бүленеше нормаль бүленешкә якынлаша - чимал мәгълүматның бүленешенә карамастан. Стандарт хатасы σ/√n - сайлама зуррак, уртача төгәлрәк. Бу теорема ышаныч интерваллары, гипотеза тикшерү кебек методларның нигезе.