Визначення
Центральна гранична теорема (ЦГТ) стверджує, що розподiл вибiркових середнiх наближається до нормального розподiлу зi збiльшенням розмiру вибiрки, незалежно вiд форми розподiлу вихiдної сукупностi. Це вiрно, доки вибiрки незалежнi i розмiр вибiрки достатньо великий.
Як це працює
Незалежно вiд того, як виглядають вихiднi данi - асиметричнi, рiвномiрнi, бiмодальнi - середнi повторних вибiрок утворять дзвiноподiбну криву.
Кидання одного кубика дає рiвномiрний розподiл - кожне число вiд 1 до 6 однаково ймовiрне.
Але якщо ви кинете 30 кубикiв i запишете середнє, а потiм повторите це 1000 разiв, розподiл цих середнiх буде дзвiноподiбним, з центром близько 3,5.
Чим бiльше кубикiв за кидок, тим ближче розподiл середнiх до iдеальної нормальної кривої.
Чому це важливо
Центральна гранична теорема є, мабуть, найважливiшою теоремою в статистицi. Вона обгрунтовує використання довiрчих iнтервалiв, перевiрки гiпотез та багатьох iнших методiв, якi припускають нормальнiсть. Без ЦГТ цi iнструменти працювали б лише для даних, якi вже мають нормальний розподiл, що рiдко зустрiчається у реальному свiтi.
ЦГТ також пояснює, чому середнi значення надiйнiшi за окремi вимiрювання. Варiабельнiсть вибiркових середнiх зменшується зi збiльшенням розмiру вибiрки (у 1/квадратний корiнь з n разiв), тому бiльшi дослiдження дають точнiшi оцiнки.
Центральна гранична теорема гарантує, що вибiрковi середнi приблизно нормальнi для достатньо великих вибiрок. Ось чому бiльшiсть статистичних методiв працює незалежно вiд форми вихiдних даних.