Три правила, які змінюють все
У попередньому уроці ми дізналися, що ймовірність -- це число від 0 до 1. Тепер навчимося комбінувати ймовірності різних подій. Для цього є три фундаментальні правила, які покривають більшість ситуацій.
Правило доповнення: "або трапиться, або ні"
Будь-яка подія або відбувається, або ні. Ймовірність того, що подія НЕ відбудеться, дорівнює 1 мінус ймовірність того, що вона відбудеться.
P(не A) = 1 - P(A)
Прогноз погоди каже, що ймовірність дощу в Одесі завтра -- 30%. Яка ймовірність, що дощу не буде? 1 - 0,30 = 0,70, тобто 70%. Це правило доповнення: якщо ви знаєте ймовірність однієї сторони, ви автоматично знаєте і другу.
Це правило часто зручніше зворотного підрахунку. Замість того, щоб рахувати ймовірність "хоча б одного успіху з 10 спроб", простіше порахувати ймовірність "жодного успіху" і відняти від 1.
Правило додавання: "або одне, або інше"
Коли ви хочете знати ймовірність того, що відбудеться подія A АБО подія B, використовуєте правило додавання.
Взаємовиключні події
Якщо події не можуть відбутися одночасно (взаємовиключні), просто додайте їх ймовірності:
P(A або B) = P(A) + P(B)
Ви кидаєте кубик. Яка ймовірність випадання 2 або 5? Ці події взаємовиключні -- не може випасти і 2, і 5 одночасно. P(2 або 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 ≈ 0,33 (33%).
Невзаємовиключні події
Якщо події можуть відбутися одночасно, потрібно відняти перетин, щоб не рахувати його двічі:
P(A або B) = P(A) + P(B) - P(A і B)
У групі з 30 студентів 18 вивчають англійську, 12 -- німецьку, а 5 вивчають обидві мови. Яка ймовірність, що випадково обраний студент вивчає англійську АБО німецьку? P = 18/30 + 12/30 - 5/30 = 25/30 ≈ 0,83 (83%). Без віднімання перетину ми б порахували тих 5 студентів двічі.
Правило множення: "і одне, і інше"
Коли вас цікавить ймовірність того, що відбудуться І подія A, І подія B, використовуєте правило множення.
Незалежні події
Якщо одна подія не впливає на іншу (вони незалежні), помножте ймовірності:
P(A і B) = P(A) × P(B)
Ви підкидаєте монету і кидаєте кубик. Яка ймовірність отримати орла І шістку? Ці події незалежні -- монета не впливає на кубик. P(орел і 6) = 1/2 × 1/6 = 1/12 ≈ 0,083 (8,3%).
Залежні події
Якщо одна подія впливає на іншу, потрібна умовна ймовірність:
P(A і B) = P(A) × P(B|A)
де P(B|A) -- ймовірність B за умови, що A вже відбулась.
У коробці 10 цукерок: 6 шоколадних і 4 карамельних. Ви витягаєте дві без повертання. Яка ймовірність, що обидві шоколадні? Перша шоколадна: 6/10. Після витягування залишилось 5 шоколадних з 9. Друга шоколадна: 5/9. P(обидві шоколадні) = 6/10 × 5/9 = 30/90 ≈ 0,33 (33%).
Комбінування правил
На практиці правила часто використовуються разом. Ось реальний приклад.
На складі Нової Пошти 2% посилок пошкоджені. Ви замовляєте 3 посилки. Яка ймовірність, що хоча б одна буде пошкоджена? Простіше через доповнення: P(жодної пошкодженої) = 0,98 × 0,98 × 0,98 = 0,941. P(хоча б одна пошкоджена) = 1 - 0,941 = 0,059 (5,9%). Ми використали правило множення (для незалежних подій) і правило доповнення разом.
Поширені помилки
- Додавання ймовірностей залежних подій: P(дощ понеділок) + P(дощ вівторок) не дорівнює P(дощ в один із цих днів), якщо погода пов'язана.
- Множення без перевірки незалежності: P(A) × P(B) працює тільки якщо A і B незалежні. Інакше потрібна умовна ймовірність.
- Забуття про перетин: при додаванні невзаємовиключних подій обов'язково відніміть P(A і B).
Три базові правила ймовірності дають змогу вирішити більшість задач. Правило доповнення: P(не A) = 1 - P(A). Правило додавання: P(A або B) = P(A) + P(B) - P(A і B). Правило множення: P(A і B) = P(A) × P(B) для незалежних подій. Знаючи ці три правила та вміючи їх комбінувати, ви зможете оцінювати ймовірності складних ситуацій.