Інформація змінює ймовірності
Уявіть: ви чуєте, що літак затримується. Без додаткової інформації ви не знаєте, затримка на 10 хвилин чи на 3 години. Але якщо вам скажуть "негода в Борисполі" -- ваша оцінка зміниться. Це і є суть умовної ймовірності: як нова інформація змінює те, у що ми віримо.
Математично умовну ймовірність записують як P(A|B) -- "ймовірність A за умови B". Вертикальна риска означає "за умови, що".
Формула
P(A|B) = P(A і B) / P(B)
Ця формула каже: щоб знайти ймовірність A за умови, що B відбулось, візьміть ймовірність обох подій разом і поділіть на ймовірність B.
У Києві в середньому 120 днів на рік іде дощ, і 200 днів похмурих. З цих 120 дощових днів 100 були похмурими. Яка ймовірність дощу, якщо сьогодні похмуро? P(дощ|похмуро) = 100/365 ÷ 200/365 = 100/200 = 0,50 (50%). А без цієї інформації: P(дощ) = 120/365 = 0,33 (33%). Похмурість підвищила ймовірність дощу з 33% до 50%.
Незалежність подій
Якщо нова інформація НЕ змінює ймовірність, події називають незалежними. Математично: A і B незалежні, якщо P(A|B) = P(A). Підкидання монети: P(орел на другому кидку | орел на першому) = P(орел) = 0,5. Попередній результат не впливає.
Але будьте обережні: інтуїція часто підказує незалежність там, де її немає. Виграш футбольної команди вдома і рівень підтримки вболівальників -- залежні події.
Медичні тести: класичний приклад
Умовна ймовірність особливо важлива в медицині. Тест може бути точним, але результат -- оманливим.
Тест на рідкісне захворювання має чутливість 99% (якщо хворий, тест покаже "+") і специфічність 95% (якщо здоровий, тест покаже "-"). Захворювання є у 1 з 1 000 людей. Ваш тест показав "+". Яка ймовірність, що ви справді хворі?
З 1 000 людей: 1 хворий отримає "+" (99% шанс). З 999 здорових 5% отримають хибний "+", тобто приблизно 50. Всього "+" отримають 51 людина, з них лише 1 справді хвора. P(хворий|"+") ≈ 1/51 ≈ 2%. Навіть з "позитивним" тестом ймовірність хвороби лише 2%!
Це контрінтуїтивно, але дуже важливо. Рідкість захворювання робить більшість позитивних результатів хибними. Ось чому лікарі завжди призначають повторні тести.
Таблиці для умовної ймовірності
Часто найпростіший спосіб працювати з умовною ймовірністю -- побудувати таблицю. Рядки -- одна змінна, стовпці -- інша, клітинки -- кількість.
У виші 200 студентів склали НМТ. 120 з Києва і 80 з інших міст. З киян 90 набрали понад 150 балів, а з інших міст -- 40. Яка ймовірність набрати >150 балів, якщо студент з Києва? P(>150|Київ) = 90/120 = 0,75 (75%). А загалом? P(>150) = 130/200 = 0,65 (65%). Столичні студенти мали вищу ймовірність високого балу.
Помилка обернення умови
Одна з найпоширеніших помилок: плутати P(A|B) з P(B|A). Це не одне й те саме!
P(дощ|похмуро) ≠ P(похмуро|дощ). Якщо йде дощ, хмарно майже завжди (P(похмуро|дощ) близько 95%). Але якщо похмуро, дощ іде далеко не завжди (P(дощ|похмуро) може бути лише 50%).
P(студент грає у футбол | він хлопець) -- це не те саме, що P(студент -- хлопець | він грає у футбол). Перша може бути 40% (не всі хлопці грають у футбол), а друга -- 90% (серед тих, хто грає, переважна більшість -- хлопці).
Умовна ймовірність P(A|B) показує, як нова інформація (подія B) змінює ймовірність події A. Формула P(A|B) = P(A і B)/P(B) -- ваш основний інструмент. Найважливіше -- ніколи не плутати P(A|B) з P(B|A) і пам'ятати, що навіть точні тести можуть давати оманливі результати, якщо подія рідкісна.