تین اصول جو امکان کا دروازہ کھولتے ہیں
پچھلے سبق میں ہم نے سیکھا کہ امکان 0 اور 1 کے درمیان ایک عدد ہے جو ناپتا ہے کہ کچھ ہونے کا کتنا امکان ہے۔ اب ہمیں امکانات کو ملانے کے اصول چاہیئں - کیونکہ حقیقی زندگی میں شاذ و نادر صرف ایک واقعہ ہوتا ہے۔
خوشخبری: آپ کو صرف تین بنیادی اصول چاہیئں، اور عمل میں دیکھنے کے بعد سب عام فہم لگتے ہیں۔
اصول 1: متمم اصول - "نہ ہونا"
کسی واقعے کے نہ ہونے کا امکان ہمیشہ 1 میں سے اس کے ہونے کا امکان منفی کرنے سے ملتا ہے۔
P(نہ ہونا) = 1 - P(ہونا)
PSL میں لاہور قلندرز کے میچ جیتنے کا امکان 0.60 ہے۔ ان کے نہ جیتنے (ہارنے یا برابری) کا امکان کیا ہے؟
P(نہ جیتنا) = 1 - 0.60 = 0.40 یا 40 فیصد۔
یہ سادہ لیکن طاقتور ہے۔ بعض اوقات کسی چیز کے ہونے کا حساب مشکل ہوتا ہے لیکن نہ ہونے کا آسان۔
اصول 2: جمع کا اصول - "یا"
جب آپ جاننا چاہتے ہیں کہ واقعہ الف یا واقعہ ب ہونے کا امکان کیا ہے، آپ جمع کا اصول استعمال کرتے ہیں۔ لیکن محتاط رہیں: اس بات پر منحصر ہے کہ دونوں واقعات ایک ساتھ ہو سکتے ہیں یا نہیں۔
باہمی طور پر خارج واقعات
اگر دو واقعات ایک ساتھ نہیں ہو سکتے تو وہ "باہمی طور پر خارج" ہیں۔ اس صورت میں بس امکانات جمع کریں:
P(الف یا ب) = P(الف) + P(ب)
ایک تھیلے میں 3 سرخ، 4 نیلی، اور 3 سبز گیندیں ہیں۔ سرخ یا سبز گیند نکلنے کا امکان کیا ہے؟
P(سرخ) = 3/10 = 0.30۔ P(سبز) = 3/10 = 0.30۔
ایک گیند سرخ اور سبز دونوں نہیں ہو سکتی (باہمی طور پر خارج) تو:
P(سرخ یا سبز) = 0.30 + 0.30 = 0.60
غیر خارج واقعات
اگر دو واقعات ایک ساتھ ہو سکتے ہیں تو آپ کو دوہری گنتی سے بچنا ہوگا:
P(الف یا ب) = P(الف) + P(ب) - P(الف اور ب)
میٹرک کی جماعت میں 60 فیصد طلبا ریاضی میں پاس ہوئے اور 70 فیصد اردو میں پاس ہوئے۔ 50 فیصد دونوں میں پاس ہوئے۔ ریاضی یا اردو (یا دونوں) میں پاس ہونے کا امکان کیا ہے؟
P(ریاضی یا اردو) = 0.60 + 0.70 - 0.50 = 0.80 یا 80 فیصد۔
اگر ہم 0.50 نہ منفی کرتے تو جو طلبا دونوں میں پاس ہوئے وہ دو بار گنے جاتے۔
اصول 3: ضرب کا اصول - "اور"
جب آپ جاننا چاہتے ہیں کہ واقعہ الف اور واقعہ ب دونوں ہونے کا امکان کیا ہے، آپ ضرب کا اصول استعمال کرتے ہیں۔ یہ اس پر منحصر ہے کہ واقعات آزاد ہیں یا نہیں۔
آزاد واقعات
دو واقعات آزاد ہیں اگر ایک کا ہونا دوسرے کے امکان کو متاثر نہ کرے۔ آزاد واقعات کے لیے بس ضرب کریں:
P(الف اور ب) = P(الف) × P(ب)
آپ ایک سکہ اچھالتے ہیں اور ایک پاسہ پھینکتے ہیں۔ چت آنے اور 6 آنے دونوں کا امکان کیا ہے؟
P(چت) = 1/2 = 0.50۔ P(6) = 1/6 ≈ 0.167۔
سکہ اور پاسہ ایک دوسرے کو متاثر نہیں کرتے (آزاد) تو:
P(چت اور 6) = 0.50 × 0.167 = 0.083 یا تقریباً 8.3 فیصد۔
غیر آزاد واقعات
جب ایک واقعہ دوسرے کا امکان بدلتا ہے تو واقعات غیر آزاد ہیں:
P(الف اور ب) = P(الف) × P(ب|الف)
("|" کا مطلب "بشرطیکہ")
ایک ڈبے میں 5 سیب اور 3 سنترے ہیں۔ آپ بغیر واپس رکھے دو پھل نکالتے ہیں۔ دونوں سیب ہونے کا امکان کیا ہے؟
پہلا سیب: P = 5/8
دوسرا سیب (پہلا سیب نکل چکا): P = 4/7
P(دونوں سیب) = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 0.357 یا تقریباً 35.7 فیصد۔
تینوں اصول ایک ساتھ
آئیے ایک حقیقی مثال سے تینوں اصول استعمال کریں۔
کراچی میں ایک ریستوران میں 60 فیصد گاہک بریانی آرڈر کرتے ہیں اور 30 فیصد لسی آرڈر کرتے ہیں۔ 20 فیصد دونوں آرڈر کرتے ہیں۔
بریانی یا لسی (یا دونوں): P = 0.60 + 0.30 - 0.20 = 0.70
نہ بریانی نہ لسی: P = 1 - 0.70 = 0.30 (متمم اصول)
ان سادہ حسابات سے ریستوران مالک سمجھ سکتا ہے کہ اپنی مینو میں کن چیزوں کو فروغ دے۔
عام غلطیاں
- جمع اور ضرب کو ملانا: "یا" کے لیے جمع، "اور" کے لیے ضرب۔ اسے یاد رکھیں۔
- آزادی فرض کرنا: صرف اس لیے کہ دو چیزیں الگ لگتی ہیں ان کا آزاد ہونا ضروری نہیں۔ کراچی میں بارش اور ٹریفک جام آزاد نہیں - بارش ٹریفک بڑھاتی ہے۔
- دوہری گنتی بھولنا: غیر خارج واقعات میں "اور" والا حصہ منفی کرنا نہ بھولیں۔
کیوں یہ اصول اہم ہیں
یہ تین اصول تقریباً ہر امکانی مسئلے کی بنیاد ہیں۔ انشورنس کمپنیاں ان سے خطرے کا حساب لگاتی ہیں۔ ڈاکٹر ان سے بیماریوں کی تشخیص کا تخمینہ لگاتے ہیں۔ کاروباری لوگ ان سے ممکنہ نتائج کا اندازہ لگاتے ہیں۔ اور آپ ان سے روزمرہ فیصلوں میں بہتر سوچ سکتے ہیں۔
امکان کے تین بنیادی اصول ہیں۔ متمم اصول آپ کو بتاتا ہے کہ کسی چیز کے نہ ہونے کا امکان 1 منفی ہونے کا امکان ہے۔ جمع کا اصول "یا" کے سوالات کے لیے ہے - باہمی خارج واقعات کے لیے سیدھا جمع، ورنہ دوہری گنتی منفی کریں۔ ضرب کا اصول "اور" کے سوالات کے لیے ہے - آزاد واقعات کے لیے سیدھی ضرب، ورنہ مشروط امکان استعمال کریں۔ یہ تین اصول سیکھ لیں اور آپ زیادہ تر امکانی مسائل حل کر سکتے ہیں۔