مشروط امکان

لاہور کے ایک سکول میں 100 طلبا ہیں۔ 40 لڑکے ہیں، 60 لڑکیاں۔ 20 لڑکے کرکٹ کھیلتے ہیں اور 15 لڑکیاں کرکٹ کھیلتی ہیں۔

اگر آپ بے ترتیب ایک طالب علم چنیں، اس کے کرکٹ کھیلنے کا امکان 35/100 = 0.35 ہے۔

لیکن اگر آپ کو پتا چلے کہ وہ لڑکا ہے: P(کرکٹ | لڑکا) = 20/40 = 0.50

اور اگر لڑکی ہے: P(کرکٹ | لڑکی) = 15/60 = 0.25

نئی معلومات (جنس) نے امکان بدل دیا۔

PBS کے اعداد و شمار کے مطابق پاکستان میں 30 فیصد بالغ باقاعدہ ورزش کرتے ہیں۔ 12 فیصد بالغ ورزش بھی کرتے ہیں اور صحت مند وزن بھی رکھتے ہیں۔ اگر کوئی ورزش کرتا ہے تو صحت مند وزن رکھنے کا امکان کیا ہے؟

P(صحت مند وزن | ورزش) = 0.12 ÷ 0.30 = 0.40 یا 40 فیصد۔

ورزش کرنے والوں میں سے 40 فیصد صحت مند وزن رکھتے ہیں۔

آپ سکہ اچھالتے ہیں اور پاسہ پھینکتے ہیں۔ P(چت | پاسے پر 6) = P(چت) = 0.50۔ پاسے کا نتیجہ جاننا سکے کے نتیجے کو نہیں بدلتا - یہ آزاد واقعات ہیں۔

لیکن اگر آپ جانتے ہیں کہ لاہور میں بارش ہوئی، تو ٹریفک جام ہونے کا امکان بڑھ جاتا ہے۔ یہ آزاد نہیں - بارش ٹریفک کو متاثر کرتی ہے۔

ایک بیماری 1,000 میں سے 1 شخص کو ہوتی ہے۔ ایک ٹیسٹ 99 فیصد درست ہے (بیمار کو بیمار اور صحت مند کو صحت مند بتاتا ہے)۔ آپ کا ٹیسٹ مثبت آتا ہے۔ آپ کو واقعی بیماری ہونے کا امکان کیا ہے؟

10,000 لوگوں میں سے: 10 واقعی بیمار ہیں۔ ان 10 میں سے 99 فیصد مثبت آئیں گے - تقریباً 10 مثبت۔

باقی 9,990 صحت مند ہیں۔ ان میں سے 1 فیصد غلط مثبت - تقریباً 100 مثبت۔

کل مثبت: 10 + 100 = 110۔ ان میں سے واقعی بیمار: 10۔

P(بیمار | مثبت ٹیسٹ) = 10/110 ≈ 0.09 یا صرف 9 فیصد!

99 فیصد درست ٹیسٹ کے باوجود آپ کے واقعی بیمار ہونے کا امکان صرف 9 فیصد ہے۔ یہ اس لیے کہ بیماری خود بہت نایاب ہے۔

P(بارش | بادل) بمقابلہ P(بادل | بارش)۔ بادل ہونے پر بارش کا امکان شاید 40 فیصد ہے۔ لیکن بارش ہونے پر بادلوں کا موجود ہونے کا امکان تقریباً 100 فیصد ہے۔ بالکل مختلف اعداد!

اسی طرح: P(مجرم | ثبوت ملا) بمقابلہ P(ثبوت ملا | مجرم)۔ ان کو ملانا سنگین غلطیوں کی طرف لے جاتا ہے۔