بے ترتیبی میں نمونے
ایک سکہ ایک بار اچھالیں اور نتیجہ مکمل بے ترتیب لگتا ہے۔ 1,000 بار اچھالیں اور ایک نمونہ نظر آتا ہے: تقریباً نصف چت ہوں گے۔ ایک پاسہ ایک بار پھینکیں، کچھ بھی آ سکتا ہے۔ 10,000 بار پھینکیں اور ہر نمبر تقریباً برابر آتا ہے۔
امکانی تقسیم ان نمونوں کی وضاحت کرتی ہے۔ یہ آپ کو بتاتی ہے کہ بے ترتیب واقعے کے تمام ممکنہ نتائج کیا ہیں اور ہر ایک کا کتنا امکان ہے۔ اسے قسمت کا مکمل نقشہ سمجھیں - ایک مخصوص نتیجے کے بارے میں پوچھنے کی بجائے آپ ایک ساتھ پوری تصویر دیکھ سکتے ہیں۔
منقطع امکانی تقسیم
جب نتائج گنے جا سکتے ہیں (1، 2، 3...) تو آپ کے پاس منقطع تقسیم ہے۔
PSL میچ میں ایک اوور میں چھکوں کی تعداد۔ ممکنہ نتائج: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6۔
ماضی کے ڈیٹا سے ہم ہر ایک کا امکان نکال سکتے ہیں: شاید 0 چھکوں کا امکان 45 فیصد، 1 چھکے کا 30 فیصد، 2 کا 15 فیصد، اور 3 یا زیادہ کا 10 فیصد۔ یہ مل کر ایک منقطع امکانی تقسیم بناتے ہیں۔
نوٹ: تمام امکانات کا مجموعہ ہمیشہ 1 (100 فیصد) ہونا چاہیے۔
مسلسل امکانی تقسیم
جب نتائج کسی بھی قدر ہو سکتے ہیں (بشمول اعشاریے) تو آپ کے پاس مسلسل تقسیم ہے۔ اس صورت میں ہم مخصوص نقطوں کے امکان کی بجائے حدود کے امکان کی بات کرتے ہیں۔
پاکستانی مردوں کے قد کی تقسیم۔ قد عین 170.000000 سینٹی میٹر ہونے کا امکان تقریباً صفر ہے۔ لیکن 165 سے 175 سینٹی میٹر کے درمیان ہونے کا امکان کافی زیادہ ہے۔ مسلسل تقسیم میں ہم ہمیشہ حدود کی بات کرتے ہیں۔
نارمل تقسیم: مشہور بیل کرو
اگر آپ نے صرف ایک تقسیم کے بارے میں سنا ہے تو وہ غالباً نارمل تقسیم ہے، جسے "بیل کرو" بھی کہتے ہیں کیونکہ اس کی شکل گھنٹی جیسی ہوتی ہے۔
نارمل تقسیم کی خصوصیات:
- وسط میں بلند ہے (اوسط قدر) اور دونوں طرف یکساں طور پر نیچے آتی ہے۔
- اوسط، میڈین اور موڈ سب ایک ہی جگہ ہیں - عین بیچ میں۔
- زیادہ تر ڈیٹا اوسط کے قریب ہوتا ہے، بہت کم ڈیٹا بہت دور ہوتا ہے۔
میٹرک بورڈ کے نتائج میں اگر ہزاروں طلبا کے نمبر دیکھیں تو وہ اکثر بیل کرو بناتے ہیں۔ زیادہ تر طلبا 50 سے 70 فیصد نمبر لاتے ہیں (درمیان میں)۔ بہت کم 95 فیصد سے اوپر لاتے ہیں (دائیں دم) اور بہت کم 20 فیصد سے نیچے رہتے ہیں (بائیں دم)۔
68-95-99.7 کا اصول
نارمل تقسیم میں ایک طاقتور اصول ہے جو آپ کو بغیر حساب کے بہت کچھ بتاتا ہے:
- 68 فیصد ڈیٹا اوسط سے ایک معیاری انحراف کے اندر ہوتا ہے۔
- 95 فیصد ڈیٹا اوسط سے دو معیاری انحراف کے اندر ہوتا ہے۔
- 99.7 فیصد ڈیٹا اوسط سے تین معیاری انحراف کے اندر ہوتا ہے۔
فرض کریں لاہور میں جولائی میں اوسط زیادہ سے زیادہ درجہ حرارت 38 ڈگری سیلسیس ہے اور معیاری انحراف 3 ڈگری ہے۔
68 فیصد دنوں میں درجہ حرارت 35 سے 41 ڈگری (38 ± 3) کے درمیان ہوگا۔
95 فیصد دنوں میں 32 سے 44 ڈگری (38 ± 6) کے درمیان ہوگا۔
99.7 فیصد دنوں میں 29 سے 47 ڈگری (38 ± 9) کے درمیان ہوگا۔
اگر کسی دن 48 ڈگری ہو جائے تو یہ انتہائی غیر معمولی ہے - 99.7 فیصد حد سے باہر!
دیگر اہم تقسیمیں
نارمل تقسیم اکیلی نہیں۔ کچھ اور اہم تقسیمیں:
- یکساں تقسیم: ہر نتیجے کا برابر امکان ہے۔ جیسے ایک منصفانہ پاسے پر ہر نمبر کا امکان 1/6 ہے۔
- دوجانبی تقسیم: مقررہ تعداد میں آزمائشوں میں کامیابیوں کی تعداد۔ جیسے 20 فری تھرو میں سے کتنے کامیاب ہوں گے۔
- ترچھی تقسیم: ایک طرف لمبی دم والی تقسیم۔ پاکستان میں آمدنی کی تقسیم ایسی ہے - زیادہ تر لوگوں کی آمدنی اوسط سے کم ہے اور چند امیر لوگ دم کو کھینچتے ہیں۔
تقسیم کیوں اہم ہے
امکانی تقسیم سمجھنا اس لیے اہم ہے کیونکہ:
- یہ آپ کو بتاتی ہے کہ "عام" کیا ہے اور "غیر معمولی" کیا ہے۔
- یہ پیشگوئیاں کرنے کی بنیاد ہے۔
- یہ خطرے اور غیر یقینی صورتحال کی مقدار بتاتی ہے۔
- آنے والے سبقوں میں سیکھے جانے والے بہت سے اوزار (اعتماد کے وقفے، فرضیے کی جانچ) نارمل تقسیم پر مبنی ہیں۔
امکانی تقسیم بے ترتیب واقعے کے تمام ممکنہ نتائج اور ہر ایک کا امکان دکھاتی ہے۔ نارمل تقسیم (بیل کرو) سب سے عام ہے - قد، وزن، ٹیسٹ سکور اور بہت کچھ اس نمونے پر چلتا ہے۔ 68-95-99.7 کا اصول آپ کو فوری اندازہ دیتا ہے کہ ڈیٹا کہاں ہونا چاہیے۔ تقسیم سمجھنا آپ کو بتاتا ہے کہ کیا عام ہے، کیا حیران کن ہے، اور کیا فکر کی بات ہے۔