Xây dựng nền tảng
Ở bài trước, bạn đã hiểu xác suất là gì. Bây giờ, chúng ta sẽ học cách kết hợp xác suất của nhiều sự kiện. Hai quy tắc cơ bản - quy tắc cộng và quy tắc nhân - là nền tảng cho mọi tính toán xác suất phức tạp hơn.
Sự kiện xung khắc (Mutually Exclusive)
Hai sự kiện xung khắc khi chúng không thể xảy ra đồng thời. Nếu sự kiện A xảy ra, sự kiện B không thể xảy ra, và ngược lại.
Trong một trận V-League, Hà Nội FC đấu với Hoàng Anh Gia Lai. Kết quả chỉ có thể là: Hà Nội thắng, HAGL thắng, hoặc hòa. Ba sự kiện này xung khắc - không thể có hai kết quả cùng lúc. Nếu Hà Nội thắng, HAGL không thể cũng thắng.
Quy tắc cộng: "HOẶC"
Khi bạn muốn tìm xác suất sự kiện A hoặc sự kiện B xảy ra:
Trường hợp 1: Hai sự kiện xung khắc
Nếu A và B xung khắc: P(A hoặc B) = P(A) + P(B)
Gieo xúc xắc. Xác suất ra mặt 1 = 1/6. Xác suất ra mặt 6 = 1/6. Hai sự kiện này xung khắc (không thể vừa ra 1 vừa ra 6 trong một lần gieo).
P(ra 1 hoặc ra 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 ≈ 33,3%
Trường hợp 2: Hai sự kiện không xung khắc
Nếu A và B có thể xảy ra đồng thời: P(A hoặc B) = P(A) + P(B) − P(A và B)
Trừ đi phần trùng lặp vì nếu không, bạn sẽ đếm nó hai lần.
Trong lớp 40 học sinh: 25 em thích Toán, 20 em thích Lý, 10 em thích cả Toán và Lý.
Chọn ngẫu nhiên 1 em. Xác suất em đó thích Toán hoặc Lý?
P(Toán hoặc Lý) = 25/40 + 20/40 − 10/40 = 35/40 = 87,5%
Nếu không trừ 10/40, bạn sẽ đếm 10 em thích cả hai hai lần, cho ra đáp số sai 45/40 - vượt quá 100%!
Sự kiện độc lập
Hai sự kiện độc lập khi việc xảy ra hay không xảy ra của sự kiện này không ảnh hưởng đến sự kiện kia.
Bạn tung đồng xu và gieo xúc xắc cùng lúc. Kết quả đồng xu (sấp/ngửa) không ảnh hưởng đến kết quả xúc xắc (1-6). Hai sự kiện này độc lập.
Ngược lại, rút 2 lá bài liên tiếp từ bộ bài KHÔNG trả lại: lá bài đầu tiên bạn rút ảnh hưởng đến xác suất lá thứ hai. Hai sự kiện này KHÔNG độc lập.
Quy tắc nhân: "VÀ"
Khi bạn muốn tìm xác suất sự kiện A và sự kiện B cùng xảy ra:
Trường hợp 1: Hai sự kiện độc lập
Nếu A và B độc lập: P(A và B) = P(A) × P(B)
Xác suất mưa ở Hà Nội hôm nay = 40%. Xác suất mưa ở TP.HCM hôm nay = 60%. Giả sử thời tiết hai thành phố độc lập nhau.
Xác suất mưa cả Hà Nội VÀ TP.HCM = 0,4 × 0,6 = 0,24 = 24%
Trường hợp 2: Hai sự kiện không độc lập
Nếu A và B không độc lập: P(A và B) = P(A) × P(B|A), trong đó P(B|A) là xác suất B xảy ra khi đã biết A xảy ra (xác suất có điều kiện - chúng ta sẽ học sâu hơn ở bài sau).
Trong hộp có 5 viên kẹo: 3 dâu, 2 sô-cô-la. Bạn lấy 2 viên liên tiếp không trả lại.
P(viên 1 là dâu) = 3/5
P(viên 2 là dâu | viên 1 đã là dâu) = 2/4 (còn 2 dâu trong 4 viên)
P(cả 2 đều là dâu) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 30%
Phần bù: xác suất "KHÔNG"
Đôi khi tính xác suất sự kiện không xảy ra dễ hơn tính trực tiếp. Xác suất bù: P(không A) = 1 − P(A).
Xác suất KHÔNG trúng Vietlott Mega 6/45 = 1 − 1/8.145.060 ≈ 99,9999877%
Ứng dụng thực tế hơn: nếu xác suất một sản phẩm trên Shopee bị lỗi là 2%, thì xác suất sản phẩm không lỗi = 98%. Nếu bạn mua 3 sản phẩm (độc lập), xác suất KHÔNG sản phẩm nào lỗi = 0,98 × 0,98 × 0,98 ≈ 94,1%.
Ứng dụng trong cuộc sống
Những quy tắc đơn giản này có ứng dụng rộng rãi:
- Kinh doanh: Xác suất một khách hàng mua sản phẩm A VÀ sản phẩm B giúp quyết định chiến lược bán chéo trên Shopee
- Y tế: Xác suất xét nghiệm dương tính giả VÀ bệnh nhân thực sự khỏe mạnh giúp bác sĩ đánh giá kết quả
- Bảo hiểm: Xác suất hỏa hoạn HOẶC lũ lụt xảy ra trong năm giúp công ty bảo hiểm tính phí hợp lý
Quy tắc cộng dùng khi tìm xác suất A HOẶC B: cộng xác suất rồi trừ phần trùng (nếu có). Quy tắc nhân dùng khi tìm xác suất A VÀ B: nhân xác suất, nhưng phải kiểm tra xem hai sự kiện có độc lập không. Phần bù giúp tính xác suất "không xảy ra" một cách dễ dàng. Ba quy tắc này là nền tảng cho mọi bài toán xác suất phức tạp hơn.